Правка разделов «Решение», «Рассмотрим область определения синуса уг»

astrosander правка от 17 дек. 2024 г., 16:39

Посмотреть решение История

правка #12070 предыдущая #12069 ← раньше позже →

ru/2.3.21.md +1 −1

			### Условие:

			$2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область?

			![К задаче $2.3.21$\|468x472, 25%](../../img/2.3.21/2.3.21.png)

			### Решение:

			На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \).
			Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы:

			$$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\quad(1)$$

			Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем:

			$$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\quad(2)$$

			Упрощаем:

			$$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\quad(3)$$

			Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$:

			$$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\quad(4)$$

			Разделим обе части уравнения на $v_0^2$

			$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(5)$$

			Выражаем cинус угла \( \beta \):
		@@ -31,7 +31,7 @@Решение:

			$$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\quad(6)$$

		−	#### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$.
		+	#### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$

			Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$:

			$$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\quad(7)$$

			Т.к. $\sin\beta\leq 1$:

			$$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(8)$$

			Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем:

			$$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\quad(9)$$

			#### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$

			###
		ещё строк без изменений 13

	### Условие:		### Условие:

	$2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область?		$2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область?

	![К задаче $2.3.21$\|468x472, 25%](../../img/2.3.21/2.3.21.png)		![К задаче $2.3.21$\|468x472, 25%](../../img/2.3.21/2.3.21.png)

	### Решение:		### Решение:

	На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \).		На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \).
	Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы:		Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы:

	$$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\quad(1)$$		$$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\quad(1)$$

	Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем:		Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем:

	$$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\quad(2)$$		$$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\quad(2)$$

	Упрощаем:		Упрощаем:

	$$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\quad(3)$$		$$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\quad(3)$$

	Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$:		Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$:

	$$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\quad(4)$$		$$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\quad(4)$$

	Разделим обе части уравнения на $v_0^2$		Разделим обе части уравнения на $v_0^2$

	$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(5)$$		$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(5)$$

	Выражаем cинус угла \( \beta \):		Выражаем cинус угла \( \beta \):
	@@ -31,7 +31,7 @@Решение:

	$$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\quad(6)$$		$$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\quad(6)$$

	#### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$.		#### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$

	Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$:		Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$:

	$$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\quad(7)$$		$$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\quad(7)$$

	Т.к. $\sin\beta\leq 1$:		Т.к. $\sin\beta\leq 1$:

	$$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(8)$$		$$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(8)$$

	Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем:		Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем:

	$$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\quad(9)$$		$$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\quad(9)$$

	#### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$		#### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$

	###		###
	ещё строк без изменений 13