Правка разделов «Решение», «Рассмотрим область определения синуса уг», «Ответ: при»
ru/2.3.21.md
+10 −12
| ### Условие: | |||
| $2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
| @@ -9,42 +9,40 @@Решение: | |||
| На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \). | |||
| Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы: | |||
| − | $$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta | ||
| + | $$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\tag{1}$$ | ||
| Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем: | |||
| − | $$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL | ||
| + | $$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\tag{2}$$ | ||
| Упрощаем: | |||
| − | $$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m} | ||
| + | $$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\tag{3}$$ | ||
| − | Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$: | ||
| + | Из $(1)$ выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$: | ||
| − | $$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m} | ||
| + | $$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\tag{4}$$ | ||
| Разделим обе части уравнения на $v_0^2$ | |||
| − | $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0} | ||
| + | $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{5}$$ | ||
| Выражаем cинус угла \( \beta \): | |||
| − | $$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}} | ||
| + | $$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\tag{6}$$ | ||
| #### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$ | |||
| Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$: | |||
| − | $$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL | ||
| + | $$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\tag{7}$$ | ||
| Т.к. $\sin\beta\leq 1$: | |||
| − | $$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0} | ||
| + | $$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{8}$$ | ||
| Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем: | |||
| − | $$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha | ||
| + | $$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\tag{9}$$ | ||
| #### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ | |||
| − | |||
| − | ### | ||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? | $2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| @@ -9,42 +9,40 @@Решение: | |||
| На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \). | На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \). | ||
| Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы: | Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы: | ||
| $$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta |
$$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\tag{1}$$ | ||
| Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем: | Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем: | ||
| $$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL |
$$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\tag{2}$$ | ||
| Упрощаем: | Упрощаем: | ||
| $$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m} |
$$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\tag{3}$$ | ||
| Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$: | Из $(1)$ выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$: | ||
| $$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m} |
$$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\tag{4}$$ | ||
| Разделим обе части уравнения на $v_0^2$ | Разделим обе части уравнения на $v_0^2$ | ||
| $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0} |
$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{5}$$ | ||
| Выражаем cинус угла \( \beta \): | Выражаем cинус угла \( \beta \): | ||
| $$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}} |
$$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\tag{6}$$ | ||
| #### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$ | #### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$ | ||
| Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$: | Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$: | ||
| $$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL |
$$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\tag{7}$$ | ||
| Т.к. $\sin\beta\leq 1$: | Т.к. $\sin\beta\leq 1$: | ||
| $$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0} |
$$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\tag{8}$$ | ||
| Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем: | Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем: | ||
| $$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha |
$$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\tag{9}$$ | ||
| #### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ | #### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ | ||
| ### | |||