2.3.28 | до правки #12079 | Решения Савченко

Условие

2.3.28^∗. По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $$m$$ . Радиус петли спирали равен $$R$$ , шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $$h$$ . С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $$H$$ ? Начальная скорость бусинки равна нулю.

Решение

Угол касательной к винтовой линии с горизонтом равен $\alpha$ , причем

$\sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}$

Когда бусинка спустилась на $$H$$ , она приобрела кинетическую энергию $кин$E_{кин} = mgH$$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю).

Сила, с которой бусинка действует на спираль:

$центрнорм$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$$

где

$центргор$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$$

$нм$$F_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}$$$

$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$

Ответ

$F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$ $\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$