Решение

Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию:

$$\sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1)$$

Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию:

$$E_{кин} = mgH\quad(2)$$

Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки:

$$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$

Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил:

$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$

Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу

$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$

Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали:

$$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$

Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль

$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$