Правка раздела «Решение»

astrosander правка от 17 дек. 2024 г., 17:02

правка #12080 предыдущая #12079 ← раньше позже →

ru/2.3.28.md +19 −9

			### Условие:

			$2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю.

			![К задаче $2.3.28$\|389x259, 40%](../../img/2.3.28/2.3.28.png)
		@@ -6,24 +6,34 @@Условие:

			### Решение:

		−	Угол ~~касательной к~~ винтовой линии с горизонт~~ом равен $\alpha$, причем~~
		+	Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию:

			$$
		−	\sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi~~^{2} r^{2})^{1/2}}~~
		+	\sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1)
			$$

		−	Когда бусинка спустилась на $H$, она приобрела кинетическую энергию $E_{кин} = mgH$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю).
		+	Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию:

		−	Сила, с которой бусинка действует на спираль:
		+	$$E_{кин} = mgH\quad(2)$$

		−	$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$
		+	Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки:

		−	где
		+	$$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$

		−	$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$
		+	Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил:

		−	$$F~~_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}~~$$
		+	$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$

		−	$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$$
		+	Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу
		+
		+	$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$
		+
		+	Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали:
		+
		+	$$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$
		+
		+	Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль
		+
		+	$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$

			#### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$

	### Условие:		### Условие:

	$2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю.		$2.3.28^*.$ По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бусинка массы $m$. Радиус петли спирали равен $R$, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — $h$. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние $H$? Начальная скорость бусинки равна нулю.

	![К задаче $2.3.28$\|389x259, 40%](../../img/2.3.28/2.3.28.png)		![К задаче $2.3.28$\|389x259, 40%](../../img/2.3.28/2.3.28.png)
	@@ -6,24 +6,34 @@Условие:

	### Решение:		### Решение:

	Угол ~~касательной к~~ винтовой линии с горизонт~~ом равен $\alpha$, причем~~		Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию:

	$$		$$
	\sin\alpha = \frac{h_{0}}{(h_{0}^{2} + 4 \pi~~^{2} r^{2})^{1/2}}~~		\sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1)
	$$		$$

	Когда бусинка спустилась на $H$, она приобрела кинетическую энергию $E_{кин} = mgH$ и скорость $v=\sqrt{2gH}$ (т.к. начальная скорость равна нулю).		Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию:

	Сила, с которой бусинка действует на спираль:		$$E_{кин} = mgH\quad(2)$$

	$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}$$		Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки:

	где		$$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$

	$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}$$		Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил:

	$$F~~_{нopм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{(h_{0}^{2} + 4 \pi^{2} r^{2})^{1/2}}~~$$		$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$

	$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}$$		Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу

			$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$

			Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали:

			$$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$

			Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль

			$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$

	#### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$		#### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$