Правка раздела «Решение»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #12338 предыдущая #12083 ← раньше
ru/2.3.28.md +7 −7
@@ -9,31 +9,31 @@Решение:
Угол наклона $\alpha$ винтовой линии к горизонтали задается через тригонометрию:
$$
−\sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(1)
+\sin\alpha = \frac{h_{0}}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\tag{1}
$$
Потенциальная энергия, потерянная бусинкой при спуске на высоту $H$, переходит в кинетическую энергию:
−$$E_{кин} = mgH\quad(2)$$
+$$E_{кин} = mgH\tag{2}$$
Учитывая, что начальная скорость равна нулю, находим скорость $v$ бусинки:
−$$v=\sqrt{2gH}\quad(3)$$
+$$v=\sqrt{2gH}\tag{3}$$
Полная сила $F$, с которой бусинка действует на спираль, находится как сумма проекций центростремительной и нормальной сил:
−$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\quad(4)$$
+$$F = \sqrt{ F_{центр}^{2} + F_{норм}^{2}}\tag{4}$$
Центростремительная сила $F_{центр}$ возникает из-за движения бусинки по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости. Учитывая горизонтальную проекцию скорости $(v_{гор} = v\cos\alpha)$, находим центростремительную силу
−$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\quad(5)$$
+$$F_{центр} = \frac{mv_{гор}^{2}}{r} = \frac{mv^{2}}{r [1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}]}\tag{5}$$
Нормальную силу найдём как проекцию силы тяжести на перпендикуляр к поверхности спирали:
−$$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\quad(6)$$
+$$F_{норм} = mg \cos\alpha = mg \frac{2 \pi r}{\sqrt{h_{0}^{2} + (2\pi r)^2}}\tag{6}$$
Подставляем уравнения центростремительной и нормальной сил из $(5)$ и $(6)$, соответственно, в уравнение $(4)$ для силы, с которой бусинка действует на спираль
−$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\quad(7)$$
+$$F = \frac{mg}{1 + (h_{0}/2 \pi r)^{2}} \left [ 1 + \left ( \frac{h_{0}}{2 \pi r} \right )^{2} + \left ( \frac{2h_{0}}{r} \right )^{2} \right ]^{1/2}\tag{7}$$
#### Ответ: $F=\frac{2\pi Rmg}{4\pi^2R^2+h^2}$$\sqrt{4\pi^2R^2+h^2+16\pi^2H^2}$