Правка раздела «Решение»
ru/2.7.2.md
+5 −5
| ### Условие | |||
| $2.7.2.$ Определите кинетическую энергию тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$, раскрученного до угловой скорости $\omega$ вокруг его оси. Больше или меньше эта энергия в случае сплошного диска того же радиуса и массы? | |||
| ### Решение | |||
| @@ -7,33 +7,33 @@Решение | |||
| Кинетическая энергия вращающегося тела, определяется | |||
| $$ | |||
| − | K = \frac{J\omega ^2}{2} | ||
| + | K = \frac{J\omega ^2}{2}\tag{1} | ||
| $$ | |||
| Где, $J$ — момент инерции тела, а $\omega$ — угловая скорость вращения | |||
| Момент инерции тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$ | |||
| $$ | |||
| − | J_\text{ring} = mR^2 | ||
| + | J_\text{ring} = mR^2\tag{2} | ||
| $$ | |||
| А момент инерции сплошного диска того же радиуса и массы | |||
| $$ | |||
| − | J_\text{disc} = mR^2/2 | ||
| + | J_\text{disc} = mR^2/2\tag{3} | ||
| $$ | |||
| Так как $J_\text{disc} < J_\text{ring}$, то кинетическая энергия вращающегося сплошного диска будет меньше, чем тонкого кольца | |||
| $$ | |||
| − | K_\text{disc} < K_\text{ring} | ||
| + | K_\text{disc} < K_\text{ring}\tag{4} | ||
| $$ | |||
| Подставляем $(2)$ в $(1)$ и получаем кинетическую энергию вращающегося кольца | |||
| $$ | |||
| − | K_\text{ring} = \frac{J_\text{ring}\omega ^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{2} | ||
| + | K_\text{ring} = \frac{J_\text{ring}\omega ^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{2}\tag{5} | ||
| $$ | |||
| #### Ответ: $K = mR^2\omega^2/2.$ У диска энергия меньше | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.2.$ Определите кинетическую энергию тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$, раскрученного до угловой скорости $\omega$ вокруг его оси. Больше или меньше эта энергия в случае сплошного диска того же радиуса и массы? | $2.7.2.$ Определите кинетическую энергию тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$, раскрученного до угловой скорости $\omega$ вокруг его оси. Больше или меньше эта энергия в случае сплошного диска того же радиуса и массы? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| @@ -7,33 +7,33 @@Решение | |||
| Кинетическая энергия вращающегося тела, определяется | Кинетическая энергия вращающегося тела, определяется | ||
| $$ | $$ | ||
| K = \frac{J\omega ^2}{2} |
K = \frac{J\omega ^2}{2}\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| Где, $J$ — момент инерции тела, а $\omega$ — угловая скорость вращения | Где, $J$ — момент инерции тела, а $\omega$ — угловая скорость вращения | ||
| Момент инерции тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$ | Момент инерции тонкого кольца радиуса $R$ и массы $m$ | ||
| $$ | $$ | ||
| J_\text{ring} = mR^2 |
J_\text{ring} = mR^2\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| А момент инерции сплошного диска того же радиуса и массы | А момент инерции сплошного диска того же радиуса и массы | ||
| $$ | $$ | ||
| J_\text{disc} = mR^2/2 |
J_\text{disc} = mR^2/2\tag{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Так как $J_\text{disc} < J_\text{ring}$, то кинетическая энергия вращающегося сплошного диска будет меньше, чем тонкого кольца | Так как $J_\text{disc} < J_\text{ring}$, то кинетическая энергия вращающегося сплошного диска будет меньше, чем тонкого кольца | ||
| $$ | $$ | ||
| K_\text{disc} < K_\text{ring} |
K_\text{disc} < K_\text{ring}\tag{4} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставляем $(2)$ в $(1)$ и получаем кинетическую энергию вращающегося кольца | Подставляем $(2)$ в $(1)$ и получаем кинетическую энергию вращающегося кольца | ||
| $$ | $$ | ||
| K_\text{ring} = \frac{J_\text{ring}\omega ^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{2} |
K_\text{ring} = \frac{J_\text{ring}\omega ^2}{2} = \frac{mR^2\omega^2}{2}\tag{5} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: $K = mR^2\omega^2/2.$ У диска энергия меньше | #### Ответ: $K = mR^2\omega^2/2.$ У диска энергия меньше | ||