Правка раздела «Решение»
ru/6.1.13.md
+5 −5
| ### Условие | |||
| $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $−q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите. | |||
| @@ -4,16 +4,16 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$: $$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell | ||
| + | Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$: $$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell\tag{1}$$ 1-й член: взаимодействие заряда с центральным $q$, 2-й: с 2-мя соседними $-q$, 3-й: с противоположным $-q$ | ||
| − | Подставляем выражение для закона Кулона $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2} | ||
| + | Подставляем выражение для закона Кулона $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2}\tag{2}$$ $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\tag{3}$$ **NO:** $F>0,$ т.е. заряды могут двигаться по окружности. | ||
| − | Согласно динамике вращательного движения $$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m} | ||
| + | Согласно динамике вращательного движения $$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m}\tag{4}$$ Откуда выражаем угловую скорость $\omega$ движения частиц | ||
| − | $$\omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}} | ||
| + | $$\omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}}\tag{5}$$ | ||
| − | После математических преобразований, получаем финальное выражение $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}} | ||
| + | После математических преобразований, получаем финальное выражение $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}}\tag{6}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $−q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите. | $6.1.13.$ Вокруг заряда $q$ вращаются по круговой орбите, располагаясь в углах квадрата со стороной $\ell$, четыре одинаковых частицы массы $m$ и заряда $−q$ каждая. Заряд $q$ находится в центре этого квадрата. Определите угловую скорость движения частиц по орбите. | ||
| @@ -4,16 +4,16 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$: $$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell |
Найдём момент модуля суммарной силы $F$, действующей на $-q$: $$F\ell=F_k\cdot\frac{\ell}{\sqrt{2}}-2F_k\cdot \ell \cdot \cos{45^{\circ}}-F_k\cdot\sqrt{2}\ell\tag{1}$$ 1-й член: взаимодействие заряда с центральным $q$, 2-й: с 2-мя соседними $-q$, 3-й: с противоположным $-q$ | ||
| Подставляем выражение для закона Кулона $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2} |
Подставляем выражение для закона Кулона $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q^2}{\ell^2}-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2\ell^2}\tag{2}$$ $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)\tag{3}$$ **NO:** $F>0,$ т.е. заряды могут двигаться по окружности. | ||
| Согласно динамике вращательного движения $$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m} |
Согласно динамике вращательного движения $$\omega^2r=a_{\text{цс}}=\frac{F}{m}\tag{4}$$ Откуда выражаем угловую скорость $\omega$ движения частиц | ||
| $$\omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}} |
$$\omega =\sqrt{\frac{F}{mr}}=\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{\ell^2} \cdot \frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot}\sqrt{\frac{1}{m\ell/\sqrt{2}}}\tag{5}$$ | ||
| После математических преобразований, получаем финальное выражение $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}} |
После математических преобразований, получаем финальное выражение $$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}}\tag{6}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}$$ | $$\omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-4}{2}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{m\ell^3}}$$ | ||