| @@ -1,15 +1,45 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $6.6.21.$ В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов $V$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $. Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь. |
| $6.6.21.$ В широкий сосуд с жидкостью ставится вертикально плоский конденсатор так, что нижняя часть пластин конденсатора погружается в жидкость. Конденсатор подключён к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора разность потенциалов $V$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon $. Жидкость несжимаема. На какую высоту поднимется жидкость? Поверхностным натяжением пренебречь. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Пусть столб жидкости поднялся на высоту $h$ Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ |
| Пусть столб жидкости поднялся на высоту $h$ Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| Что является предыдущещей 6.6.20 Емкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a × a$ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a-x)$ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 a x\varepsilon }{d}$ $C = C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a+x(\varepsilon -1))$ Расчитаем энергию $E=\frac{CV^2}{2}$ этого конденсатора: $E_С=\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+x(\varepsilon -1))$ Потенциальная энергия столба жидкости составит: $E_P=-\rho g da \frac{h^2}{2}$ Полная энергия: $E=E_P+E_С=-\rho g da \frac{h^2}{2}+\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+h(\varepsilon -1))$ Будет минимальна при $\frac{dE}{dh}=0$: $\frac{\varepsilon_0(\varepsilon -1) a V^2}{2d}-\rho g dah=0$ $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$ |
| Что сводится к предыдущещей [6.6.20](/ru/6.6.20)! |
| |
| |
| ### Ответ: $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$ |
| Ёмкость конденсатора представит емкость паралельных конденсаторов $C_1$ и $C_2$ для обкладок размера $a × a$ |
| |
| |
| |
| $$C_1 = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a-x)$$ |
| |
| |
| |
| $$C_2 = \frac{\varepsilon_0 a x\varepsilon }{d}$$ |
| |
| |
| |
| Полная ёмкость системы конденсаторов: |
| |
| |
| |
| $$C = C_1+C_2=\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a+x(\varepsilon -1))$$ |
| |
| |
| |
| Расчитаем энергию $E=\frac{CV^2}{2}$ этой системы: |
| |
| |
| |
| $$E_С=\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+x(\varepsilon -1))$$ |
| |
| |
| |
| Потенциальная энергия столба жидкости составит: |
| |
| |
| |
| $$E_P=-\rho g da \frac{h^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Полная энергия: |
| |
| |
| |
| $$E=E_P+E_С=-\rho g da \frac{h^2}{2}+\frac{\varepsilon_0 a V^2}{2d}(a+h(\varepsilon -1))$$ |
| |
| |
| |
| Энергия будет минимальна при $\frac{dE}{dh}=0$: |
| |
| |
| |
| $$\frac{\varepsilon_0(\varepsilon -1) a V^2}{2d}-\rho g dah=0$$ |
| |
| |
| |
| Выражаем высоту на которую поднимется столб жидкости |
| |
| |
| |
| $$h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $h=\frac{\varepsilon_0 (\varepsilon -1)V^2}{2 \rho gd^2 }$ |
