| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $6.1.19.$ Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна $E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля: | | $6.1.19.$ Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна $E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля: |
| а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена; | | а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена; |
| б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$; | | б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$; |
| в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $\sigma$; | | в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $\sigma$; |
| г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$; | | г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$; |
| д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; | | д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; |
| е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$. | | е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$. |
| $$dS'=d\Omega{R^2}$$ | | $$dS'=d\Omega{R^2}$$ |
| | | |
| $$S=\frac{dS'}{\cos{\alpha}}=\frac{d\Omega{R^2}}{h/R}=\frac{d\Omega{R^3}}{h}$$ | | $$S=\frac{dS'}{\cos{\alpha}}=\frac{d\Omega{R^2}}{h/R}=\frac{d\Omega{R^3}}{h}$$ |
| | | |
| Заряд участка $dS$: | | Заряд участка $dS$: |
| | | |
| $$dQ=dS \cdot \sigma =\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{h}$$ | | $$dQ=dS \cdot \sigma =\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{h}$$ |
| | | |
| Вектор напряжённости, перпендикулярный плоскости: | | Вектор напряжённости, перпендикулярный плоскости: |
| | | |
| $$dE_n=dE \cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{hR^2} \cdot \frac{h}{R}=\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$$ | | $$dE_n=dE \cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{hR^2} \cdot \frac{h}{R}=\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E_n=\int_0^\Omega{\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$$ | | $$E_n=\int_0^\Omega{\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| a) Полный телесный угол - 4$\pi$срад. | | a) Полный телесный угол - 4$\pi$срад. |
| | | |
| У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi /6=2\pi /3$срад. | | У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi /6=2\pi /3$срад. |
| | | |
| Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость. | | Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость. |
| | | |
| $$E=\frac{\sigma\cdot 2\pi /3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}$$ | | $$E=\frac{\sigma\cdot 2\pi /3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен $1/3$): | | б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен $1/3$): |
| | | |
| $$E=\frac{\sigma_2\pi}{4\pi\varepsilon_0}-3\frac{\sigma_1\pi}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \sin{\alpha}=\frac{\sigma_2}{4\varepsilon_0}-\frac{\sigma_1}{4\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{4\varepsilon_0}$$ | | $$E=\frac{\sigma_2\pi}{4\pi\varepsilon_0}-3\frac{\sigma_1\pi}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \sin{\alpha}=\frac{\sigma_2}{4\varepsilon_0}-\frac{\sigma_1}{4\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{4\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| | | |
| в) Плоскость ограничивает половину пространства, её телесный угол - $2\pi$срад | | в) Плоскость ограничивает половину пространства, её телесный угол - $2\pi$срад |
| | | |
| $$E=\frac{\sigma\cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ | | $$E=\frac{\sigma\cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi /3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой | | г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi /3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой |
| | | |
| $$E_i=\frac{\sigma_i}{3\varepsilon_0}.$$ | | $$E_i=\frac{\sigma_i}{3\varepsilon_0}.$$ |
| | | |
| Запишем проекции векторов на ось вектора $E_1$: | | Запишем проекции векторов на ось вектора $E_1$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E_\parallel=E_1-E_2\cdot\cos60^\circ-E_3\cdot\cos60^\circ=E_1-E_2/2-E_3/2 | | E_\parallel=E_1-E_2\cdot\cos60^\circ-E_3\cdot\cos60^\circ=E_1-E_2/2-E_3/2 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E_\perp=E_2\cdot\sin60^\circ-E_3\cdot\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}(E_2-E_3) | | E_\perp=E_2\cdot\sin60^\circ-E_3\cdot\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}(E_2-E_3) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2}=\sqrt{(E_1-E_2/2-E_3/2)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3))^2}= | | E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2}=\sqrt{(E_1-E_2/2-E_3/2)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3))^2}= |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| =\sqrt{E_1^2+E_2^2/4+E_3^2/4-E_1E_2-E_1E_3+2E_2E_3/4+\frac{3}{4}E_2^2+\frac{3}{4}E_3^2-\frac{3}{2}E_2E_2}= | | =\sqrt{E_1^2+E_2^2/4+E_3^2/4-E_1E_2-E_1E_3+2E_2E_3/4+\frac{3}{4}E_2^2+\frac{3}{4}E_3^2-\frac{3}{2}E_2E_2}= |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| =\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3/(3\varepsilon_0)} | | =\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3/(3\varepsilon_0)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - $r$, толщина - $dx$. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом | | д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - $r$, толщина - $dx$. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом |
| | | |
| $$\Omega=2\pi (1-\cos{\alpha})$$ | | $$\Omega=2\pi (1-\cos{\alpha})$$ |
| | | |
| (известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу). | | (известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу). |
| | | |
| Поверхностная плотность заряда дииска: | | Поверхностная плотность заряда дииска: |
| | | |
| $$\sigma =\frac{\rho\cdot V}{S}=\frac{\rho\pi{r}^2 \cdot dx}{\pi{r}^2}=\rho{dx}$$ | | $$\sigma =\frac{\rho\cdot V}{S}=\frac{\rho\pi{r}^2 \cdot dx}{\pi{r}^2}=\rho{dx}$$ |
| | | |
| Напряжённость, создаваемая диском: | | Напряжённость, создаваемая диском: |
| | | |
| $$dE=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}2\pi (1-\cos{\alpha}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha}}{2\varepsilon_0}$$ | | $$dE=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}2\pi (1-\cos{\alpha}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha}}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| $$E=\int_0^h\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho{h}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}$$ | | $$E=\int_0^h\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho{h}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| е) Аналогично пункту д) будем разбивать на длинные прямоугольники(длина - $\Delta{L}$, ширина - $a$, толщина - $dx$). | | е) Аналогично пункту д) будем разбивать на длинные прямоугольники(длина - $\Delta{L}$, ширина - $a$, толщина - $dx$). |
| | | |
| Каждый прямоугольник виден под телесным углом | | Каждый прямоугольник виден под телесным углом |
| | | |
| $\Omega=4\pi\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}=2\pi /3$ срад (шестая часть пространства) | | $\Omega=4\pi\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}=2\pi /3$ срад (шестая часть пространства) |
| | | |
| $$\sigma =\frac{\rho\cdot V}{s}=\frac{\rho\cdot \Delta{L}a \cdot dx}{\Delta{L}a}=\rho{dx}$$ | | $$\sigma =\frac{\rho\cdot V}{s}=\frac{\rho\cdot \Delta{L}a \cdot dx}{\Delta{L}a}=\rho{dx}$$ |
| | | |
| $$E=\int_0^{h}\frac{\sigma\Omega)}{4\pi\varepsilon_0}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}l}\frac{\rho{dx}2\pi /3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sqrt{3}\rho{l}}{12\varepsilon_0}$$ | | $$E=\int_0^{h}\frac{\sigma\Omega)}{4\pi\varepsilon_0}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}l}\frac{\rho{dx}2\pi /3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sqrt{3}\rho{l}}{12\varepsilon_0}$$ |
| | | |
| ### Ответ: | | ### Ответ: |
| | | |
| a) \( E = \frac{\sigma}{6\varepsilon_0} \); | | a) \( E = \frac{\sigma}{6\varepsilon_0} \); |
| б) \( E = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{4\varepsilon_0} \); | | б) \( E = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{4\varepsilon_0} \); |
| в) \( E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \); | | в) \( E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \); |
| г) \( E = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_3 - \sigma_1\sigma_3}/(3\varepsilon_0) \); | | г) \( E = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 - \sigma_1\sigma_2 - \sigma_2\sigma_3 - \sigma_1\sigma_3}/(3\varepsilon_0) \); |
| д*) \( E = \frac{\rho h (1 - \cos \alpha)}{2\varepsilon_0} \); | | д*) \( E = \frac{\rho h (1 - \cos \alpha)}{2\varepsilon_0} \); |
| е*) \( E = \frac{\sqrt{3} l \rho}{12\varepsilon_0} \). | | е*) \( E = \frac{\sqrt{3} l \rho}{12\varepsilon_0} \). |
| | | |
