Updated russian solutions for a new style
ru/6.1.19.md
+11 −106
| <html> | |||
| <head> | |||
| <title>Решебник Савченко</title> | |||
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | |||
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | |||
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | |||
| <meta charset="utf-8"> | |||
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | |||
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> | |||
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | |||
| @@ -12,11 +12,7 @@ | |||
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | |||
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | |||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href=" | ||
| − | <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css"> | ||
| − | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css"> | ||
| + | <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | ||
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | |||
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | |||
| <script type="text/javascript" async | |||
| src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | |||
| </script> | |||
| <!-- MathJax configuration --> | |||
| <script type="text/x-mathjax-config"> | |||
| MathJax.Hub.Config({ | |||
| extensions: ['tex2jax.js'], | |||
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | |||
| tex2jax: { | |||
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | |||
| processEscapes: true, | |||
| processClass: 'tex2jax', | |||
| ignoreClass: 'html' | |||
| }, | |||
| showProcessingMessages: false, | |||
| messageStyle: 'none' | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </head> | |||
| @@ -44,102 +40,15 @@ | |||
| <body style=""> | |||
| <div class="container row"> | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1> | ||
| − | </header> | ||
| + | <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;"> | ||
| + | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | ||
| + | <p class="author"> | ||
| + | Aliaksandr Melnichenka <br/> | ||
| + | October 2023 | ||
| + | </p> | ||
| + | </header> | ||
| </div> | |||
| − | <aside class="col col-lg-3"> | ||
| − | | ||
| − | <ul class="nav"> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#1">1.Кинематика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#2">2.Динамика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#3">3.Колебания</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#4">4.Гидростатика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#5">5.Молекулярная</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#6">6.Электростатика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#7">7.Движение в электрическом поле</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#8">8.Электрический ток</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#9">9.Магнитное поле</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#10">10.Движение в сложных полях</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#11">11.Электромагнитная индукция</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#12">12.Электромагнитные волны</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#13">13.Оптика</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | <li> | ||
| − | <a href="../../ru/#14">14.CTO</a> | ||
| − | </li> | ||
| − | |||
| − | </ul> | ||
| − | </nav> | ||
| − | </aside> | ||
| + | |||
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | |||
| <div class="row"> | |||
| <div class="col caption"> | |||
| <h2> | |||
| <a href="../../ru#6.1">←Назад</a> | |||
| </h2> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div id="1" class="row odd"> | |||
| <div class="col col-lg-12"> | |||
| <h3> | |||
| Условие: | |||
| </h3> | |||
| <div class="task"> | |||
| <p> | |||
| 6.1.19. Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, | |||
| перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна E⊥ = $\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок | |||
| из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. | |||
| Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:<br> | |||
| а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной | |||
| плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;<br> | |||
| б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;<br> | |||
| в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $σ$; | |||
| г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если | |||
| поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;<br> | |||
| д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;<br> | |||
| е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$. | |||
| <br> <br> | |||
| </p> | |||
| <!-- <div class="StatementDiv"> | |||
| <img class="Statement" src="statement.png"> | |||
| </div> --> | |||
| </div> | |||
| <hr> | |||
| <h3> | |||
| Решение: | |||
| </h3> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <img class="ScreenS" src="6.1.19.png"> | |||
| </div> <br> <br> | |||
| <p class="TxtSolutions"> Плоскость участка dS' перпендикулярна отрезкам R и R. По определению телесного угла $dS'=d\Omega{R^2}$<br> | |||
| $S=\frac{dS'}{\cos{\alpha}}=\frac{d\Omega{R^2}}{h/R}=\frac{d\Omega{R^3}}{h}$<br> | |||
| Заряд участка dS:<br> | |||
| $dQ=dS \cdot \sigma=\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{h}$<br><br> | |||
| Вектор напряжённости, перпендикулярный плоскости:<br> | |||
| $dE_n=dE \cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{hR^2} \cdot \frac{h}{R}=\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> | |||
| $E_n=\int_0^\Omega{\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> <br> | |||
| a) Полный телесный угол - 4$\pi$срад. У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi/6=2\pi/3$срад. Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость. <br> | |||
| $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}$<br> <br> | |||
| б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен 1/3):<br> | |||
| $E=\frac{\sigma_2\pi}{4\pi\varepsilon_0}-3\frac{\sigma_1\pi}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \sin{\alpha}=\frac{\sigma_2}{4\varepsilon_0}-\frac{\sigma_1}{4\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{4\varepsilon_0}$<br><br> | |||
| в) Плоскость ограничивает половину пространства, её телесный угол - $2\pi$срад<br> | |||
| $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$<br><br> | |||
| г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi/3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой $E_i=\frac{\sigma_i}{3\varepsilon_0}$. Запишем проекции векторов на ось вектора $E_1$:<br> | |||
| </div> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <img class="ScreenS" src="01.png"> | |||
| </div> | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <p class="TxtSolutions"> | |||
| <!-- $E_\parallel=E_1-E_2 \cdot \cos{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \cos{60 ^{\circ}}=E_1-E_2/2-E_3/2$<br> | |||
| $E_\perp=E_2 \cdot \sin{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \sin{60 ^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3)$<br> | |||
| $E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2}$$=\sqrt{(E_1-E_2/2-E_3/2)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3))^2}=$ <br> | |||
| $=\sqrt{E_1^2+E_2^2/4+E_3^2/4-E_1E_2-E_1E_3+2E_2E_3/4+\frac{3}{4}E_2^2+\frac{3}{4}E_3^2-\frac{3}{2}E_2E_2}=$<br> | |||
| $=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3}/(3\varepsilon_0)$<br> <br> --> | |||
| д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - r, толщина - dx. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом $\Omega=2\pi(1-\cos{\alpha})$ (известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).<br> | |||
| Поверхностная плотность заряда дииска:<br> | |||
| $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{S}=\frac{\rho\pi{r}^2 \cdot dx}{\pi{r}^2}=\rho{dx}$ <br> | |||
| Напряжённость, создаваемая диском:<br> | |||
| $dE=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}2\pi(1-\cos{\alpha}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha}}{2\varepsilon_0}$<br> | |||
| $E=\int_0^h\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho{h}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}$<br> <br> | |||
| е) Аналогично п. д) будем разбивать на длинные прямоугольники(длина - $\Delta{L}$, ширина - $a$, толщина - $dx$). Каждый прямоугольник виден под телесным углом $\Omega=4\pi\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}=2\pi/3$срад (шестая часть пространства)<br> | |||
| $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{s}=\frac{\rho \cdot \Delta{L}a \cdot dx}{\Delta{L}a}=\rho{dx}$<br> | |||
| $E=\int_0^{h}\frac{\sigma\Omega)}{4\pi\varepsilon_0}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}l}\frac{\rho{dx}2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sqrt{3}\rho{l}}{12\varepsilon_0}$ | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| <h3> | |||
| Ответ: | |||
| <div class="solutions"> | |||
| <img class="ScreenS" src="ans.png"> | |||
| </div> | |||
| </h3> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| @@ -245,11 +154,7 @@ | |||
| − | </div> | ||
| − | <a href="#" class="back-to-top affix"> | ||
| − | ↑ наверх | ||
| − | </a> | ||
| − | </div> | ||
| + | |||
| </div> <footer class="row container"> | |||
| <div class="col col-lg-3"> | |||
| <div class="footer-left"> | |||
| <p> | |||
| <small> | |||
| © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br> | |||
| </small> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-6"> | |||
| <div class="footer-middle"> | |||
| <p> | |||
| @@ -266,7 +171,7 @@ | |||
| <small> | |||
| Все права принадлежат авторам.<br> | |||
| Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br> | |||
| − | a | ||
| + | aliaksandr@savchenkosolutions.com<br> | ||
| <i>E = mc<sup>2</sup></i>. | |||
| </small> | |||
| </p> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| <div class="col col-lg-3"> | |||
| <div class="footer-right"> | |||
| <div class="pull-right"> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| </div> | |||
| </footer> | |||
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | |||
| <script type="text/javascript"> | |||
| $(function(){ | |||
| setTimeout(function () { | |||
| $('.back-to-top').affix(); | |||
| }, 100); | |||
| }); | |||
| </script> | |||
| </body> | |||
| </html> | |||
| ещё строк без изменений 23 | |||
| <html> | <html> | ||
| <head> | <head> | ||
| <title>Решебник Савченко</title> | <title>Решебник Савченко</title> | ||
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | ||
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | ||
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | ||
| <meta charset="utf-8"> | <meta charset="utf-8"> | ||
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | ||
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/> | ||
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | ||
| @@ -12,11 +12,7 @@ | |||
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я."> | ||
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" /> | ||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href=" |
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css"> | ||
| <link rel="stylesheet" media="screen and (max-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/StyleMobile.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" media="screen and (min-width: 769px)" type="text/css" href="../../css/style.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/fonts.css"> | |||
| <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/banner-styles.css"> | |||
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" /> | ||
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | ||
| <script type="text/javascript" async | <script type="text/javascript" async | ||
| src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"> | ||
| </script> | </script> | ||
| <!-- MathJax configuration --> | <!-- MathJax configuration --> | ||
| <script type="text/x-mathjax-config"> | <script type="text/x-mathjax-config"> | ||
| MathJax.Hub.Config({ | MathJax.Hub.Config({ | ||
| extensions: ['tex2jax.js'], | extensions: ['tex2jax.js'], | ||
| jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'], | ||
| tex2jax: { | tex2jax: { | ||
| inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ], | ||
| processEscapes: true, | processEscapes: true, | ||
| processClass: 'tex2jax', | processClass: 'tex2jax', | ||
| ignoreClass: 'html' | ignoreClass: 'html' | ||
| }, | }, | ||
| showProcessingMessages: false, | showProcessingMessages: false, | ||
| messageStyle: 'none' | messageStyle: 'none' | ||
| }); | }); | ||
| </script> | </script> | ||
| </head> | </head> | ||
| @@ -44,102 +40,15 @@ | |||
| <body style=""> | <body style=""> | ||
| <div class="container row"> | <div class="container row"> | ||
| <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;"> | |||
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | |||
| <h1>Решение задач из Савченко О.Я.</h1> | <p class="author"> | ||
| </header> | Aliaksandr Melnichenka <br/> | ||
| October 2023 | |||
| </p> | |||
| </header> | |||
| </div> | </div> | ||
| <aside class="col col-lg-3"> | |||
| |
|||
| <ul class="nav"> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#1">1.Кинематика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#2">2.Динамика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#3">3.Колебания</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#4">4.Гидростатика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#5">5.Молекулярная</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#6">6.Электростатика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#7">7.Движение в электрическом поле</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#8">8.Электрический ток</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#9">9.Магнитное поле</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#10">10.Движение в сложных полях</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#11">11.Электромагнитная индукция</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#12">12.Электромагнитные волны</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#13">13.Оптика</a> | |||
| </li> | |||
| <li> | |||
| <a href="../../ru/#14">14.CTO</a> | |||
| </li> | |||
| </ul> | |||
| </nav> | |||
| </aside> | |||
| <div id="main" class="col col-lg-9"> | <div id="main" class="col col-lg-9"> | ||
| <div class="row"> | <div class="row"> | ||
| <div class="col caption"> | <div class="col caption"> | ||
| <h2> | <h2> | ||
| <a href="../../ru#6.1">←Назад</a> | <a href="../../ru#6.1">←Назад</a> | ||
| </h2> | </h2> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div id="1" class="row odd"> | <div id="1" class="row odd"> | ||
| <div class="col col-lg-12"> | <div class="col col-lg-12"> | ||
| <h3> | <h3> | ||
| Условие: | Условие: | ||
| </h3> | </h3> | ||
| <div class="task"> | <div class="task"> | ||
| <p> | <p> | ||
| 6.1.19. Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, | 6.1.19. Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, | ||
| перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна E⊥ = $\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок | перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна E⊥ = $\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок | ||
| из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. | из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. | ||
| Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:<br> | Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:<br> | ||
| а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной | а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной | ||
| плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;<br> | плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;<br> | ||
| б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;<br> | б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;<br> | ||
| в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $σ$; | в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $σ$; | ||
| г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если | г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если | ||
| поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;<br> | поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;<br> | ||
| д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;<br> | д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;<br> | ||
| е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$. | е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$. | ||
| <br> <br> | <br> <br> | ||
| </p> | </p> | ||
| <!-- <div class="StatementDiv"> | <!-- <div class="StatementDiv"> | ||
| <img class="Statement" src="statement.png"> | <img class="Statement" src="statement.png"> | ||
| </div> --> | </div> --> | ||
| </div> | </div> | ||
| <hr> | <hr> | ||
| <h3> | <h3> | ||
| Решение: | Решение: | ||
| </h3> | </h3> | ||
| <div class="solutions"> | <div class="solutions"> | ||
| <div class="solutions"> | <div class="solutions"> | ||
| <img class="ScreenS" src="6.1.19.png"> | <img class="ScreenS" src="6.1.19.png"> | ||
| </div> <br> <br> | </div> <br> <br> | ||
| <p class="TxtSolutions"> Плоскость участка dS' перпендикулярна отрезкам R и R. По определению телесного угла $dS'=d\Omega{R^2}$<br> | <p class="TxtSolutions"> Плоскость участка dS' перпендикулярна отрезкам R и R. По определению телесного угла $dS'=d\Omega{R^2}$<br> | ||
| $S=\frac{dS'}{\cos{\alpha}}=\frac{d\Omega{R^2}}{h/R}=\frac{d\Omega{R^3}}{h}$<br> | $S=\frac{dS'}{\cos{\alpha}}=\frac{d\Omega{R^2}}{h/R}=\frac{d\Omega{R^3}}{h}$<br> | ||
| Заряд участка dS:<br> | Заряд участка dS:<br> | ||
| $dQ=dS \cdot \sigma=\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{h}$<br><br> | $dQ=dS \cdot \sigma=\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{h}$<br><br> | ||
| Вектор напряжённости, перпендикулярный плоскости:<br> | Вектор напряжённости, перпендикулярный плоскости:<br> | ||
| $dE_n=dE \cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{hR^2} \cdot \frac{h}{R}=\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> | $dE_n=dE \cdot \cos{\alpha}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{d\Omega\sigma{R^3}}{hR^2} \cdot \frac{h}{R}=\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> | ||
| $E_n=\int_0^\Omega{\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> <br> | $E_n=\int_0^\Omega{\frac{\sigma{d}\Omega}{4\pi\varepsilon_0}}=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$<br> <br> | ||
| a) Полный телесный угол - 4$\pi$срад. У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi/6=2\pi/3$срад. Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость. <br> | a) Полный телесный угол - 4$\pi$срад. У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi/6=2\pi/3$срад. Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость. <br> | ||
| $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}$<br> <br> | $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{6\varepsilon_0}$<br> <br> | ||
| б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен 1/3):<br> | б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен 1/3):<br> | ||
| $E=\frac{\sigma_2\pi}{4\pi\varepsilon_0}-3\frac{\sigma_1\pi}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \sin{\alpha}=\frac{\sigma_2}{4\varepsilon_0}-\frac{\sigma_1}{4\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{4\varepsilon_0}$<br><br> | $E=\frac{\sigma_2\pi}{4\pi\varepsilon_0}-3\frac{\sigma_1\pi}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \sin{\alpha}=\frac{\sigma_2}{4\varepsilon_0}-\frac{\sigma_1}{4\varepsilon_0}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{4\varepsilon_0}$<br><br> | ||
| в) Плоскость ограничивает половину пространства, её телесный угол - $2\pi$срад<br> | в) Плоскость ограничивает половину пространства, её телесный угол - $2\pi$срад<br> | ||
| $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$<br><br> | $E=\frac{\sigma \cdot 2\pi}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$<br><br> | ||
| г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi/3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой $E_i=\frac{\sigma_i}{3\varepsilon_0}$. Запишем проекции векторов на ось вектора $E_1$:<br> | г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi/3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой $E_i=\frac{\sigma_i}{3\varepsilon_0}$. Запишем проекции векторов на ось вектора $E_1$:<br> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class="solutions"> | <div class="solutions"> | ||
| <img class="ScreenS" src="01.png"> | <img class="ScreenS" src="01.png"> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class="solutions"> | <div class="solutions"> | ||
| <p class="TxtSolutions"> | <p class="TxtSolutions"> | ||
| <!-- $E_\parallel=E_1-E_2 \cdot \cos{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \cos{60 ^{\circ}}=E_1-E_2/2-E_3/2$<br> | <!-- $E_\parallel=E_1-E_2 \cdot \cos{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \cos{60 ^{\circ}}=E_1-E_2/2-E_3/2$<br> | ||
| $E_\perp=E_2 \cdot \sin{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \sin{60 ^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3)$<br> | $E_\perp=E_2 \cdot \sin{60 ^{\circ}}-E_3 \cdot \sin{60 ^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3)$<br> | ||
| $E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2}$$=\sqrt{(E_1-E_2/2-E_3/2)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3))^2}=$ <br> | $E=\sqrt{E_\parallel^2+E_\perp^2}$$=\sqrt{(E_1-E_2/2-E_3/2)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}(E_2-E_3))^2}=$ <br> | ||
| $=\sqrt{E_1^2+E_2^2/4+E_3^2/4-E_1E_2-E_1E_3+2E_2E_3/4+\frac{3}{4}E_2^2+\frac{3}{4}E_3^2-\frac{3}{2}E_2E_2}=$<br> | $=\sqrt{E_1^2+E_2^2/4+E_3^2/4-E_1E_2-E_1E_3+2E_2E_3/4+\frac{3}{4}E_2^2+\frac{3}{4}E_3^2-\frac{3}{2}E_2E_2}=$<br> | ||
| $=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3}/(3\varepsilon_0)$<br> <br> --> | $=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_3-\sigma_1\sigma_3}/(3\varepsilon_0)$<br> <br> --> | ||
| д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - r, толщина - dx. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом $\Omega=2\pi(1-\cos{\alpha})$ (известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).<br> | д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - r, толщина - dx. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом $\Omega=2\pi(1-\cos{\alpha})$ (известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).<br> | ||
| Поверхностная плотность заряда дииска:<br> | Поверхностная плотность заряда дииска:<br> | ||
| $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{S}=\frac{\rho\pi{r}^2 \cdot dx}{\pi{r}^2}=\rho{dx}$ <br> | $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{S}=\frac{\rho\pi{r}^2 \cdot dx}{\pi{r}^2}=\rho{dx}$ <br> | ||
| Напряжённость, создаваемая диском:<br> | Напряжённость, создаваемая диском:<br> | ||
| $dE=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}2\pi(1-\cos{\alpha}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha}}{2\varepsilon_0}$<br> | $dE=\frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}2\pi(1-\cos{\alpha}}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha}}{2\varepsilon_0}$<br> | ||
| $E=\int_0^h\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho{h}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}$<br> <br> | $E=\int_0^h\frac{\rho{dx}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho{h}(1-\cos{\alpha})}{2\varepsilon_0}$<br> <br> | ||
| е) Аналогично п. д) будем разбивать на длинные прямоугольники(длина - $\Delta{L}$, ширина - $a$, толщина - $dx$). Каждый прямоугольник виден под телесным углом $\Omega=4\pi\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}=2\pi/3$срад (шестая часть пространства)<br> | е) Аналогично п. д) будем разбивать на длинные прямоугольники(длина - $\Delta{L}$, ширина - $a$, толщина - $dx$). Каждый прямоугольник виден под телесным углом $\Omega=4\pi\frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}}=2\pi/3$срад (шестая часть пространства)<br> | ||
| $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{s}=\frac{\rho \cdot \Delta{L}a \cdot dx}{\Delta{L}a}=\rho{dx}$<br> | $\sigma=\frac{\rho \cdot V}{s}=\frac{\rho \cdot \Delta{L}a \cdot dx}{\Delta{L}a}=\rho{dx}$<br> | ||
| $E=\int_0^{h}\frac{\sigma\Omega)}{4\pi\varepsilon_0}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}l}\frac{\rho{dx}2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sqrt{3}\rho{l}}{12\varepsilon_0}$ | $E=\int_0^{h}\frac{\sigma\Omega)}{4\pi\varepsilon_0}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}l}\frac{\rho{dx}2\pi/3}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\sqrt{3}\rho{l}}{12\varepsilon_0}$ | ||
| </p> | </p> | ||
| </div> | </div> | ||
| <h3> | <h3> | ||
| Ответ: | Ответ: | ||
| <div class="solutions"> | <div class="solutions"> | ||
| <img class="ScreenS" src="ans.png"> | <img class="ScreenS" src="ans.png"> | ||
| </div> | </div> | ||
| </h3> | </h3> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| @@ -245,11 +154,7 @@ | |||
| </div> | |||
| <a href="#" class="back-to-top affix"> | |||
| ↑ наверх | |||
| </a> | |||
| </div> | |||
| </div> <footer class="row container"> | </div> <footer class="row container"> | ||
| <div class="col col-lg-3"> | <div class="col col-lg-3"> | ||
| <div class="footer-left"> | <div class="footer-left"> | ||
| <p> | <p> | ||
| <small> | <small> | ||
| © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br> | © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024<br> | ||
| </small> | </small> | ||
| </p> | </p> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class="col col-lg-6"> | <div class="col col-lg-6"> | ||
| <div class="footer-middle"> | <div class="footer-middle"> | ||
| <p> | <p> | ||
| @@ -266,7 +171,7 @@ | |||
| <small> | <small> | ||
| Все права принадлежат авторам.<br> | Все права принадлежат авторам.<br> | ||
| Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br> | Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов.<br> | ||
| a |
aliaksandr@savchenkosolutions.com<br> | ||
| <i>E = mc<sup>2</sup></i>. | <i>E = mc<sup>2</sup></i>. | ||
| </small> | </small> | ||
| </p> | </p> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class="col col-lg-3"> | <div class="col col-lg-3"> | ||
| <div class="footer-right"> | <div class="footer-right"> | ||
| <div class="pull-right"> | <div class="pull-right"> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| </footer> | </footer> | ||
| <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script> | ||
| <script type="text/javascript"> | <script type="text/javascript"> | ||
| $(function(){ | $(function(){ | ||
| setTimeout(function () { | setTimeout(function () { | ||
| $('.back-to-top').affix(); | $('.back-to-top').affix(); | ||
| }, 100); | }, 100); | ||
| }); | }); | ||
| </script> | </script> | ||
| </body> | </body> | ||
| </html> | </html> | ||
| ещё строк без изменений 23 | |||