| @@ -1,38 +1,38 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $1.1.5^*.$ Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв? |
| $1.1.5^*.$ Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно: |
| Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно: |
| |
| |
| $$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \, (1)$$ |
| $$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \tag{1}$$ |
| |
| |
| где $x = BO$. Аналогично для точки $B$ |
| где $x = BO$. Аналогично для точки $B$ |
| |
| |
| $$t_B = t_0 + \frac{x}{c}, \,(2)$$ |
| $$t_B = t_0 + \frac{x}{c}, \tag{2}$$ |
| |
| |
| Для точки $C$ |
| Для точки $C$ |
| |
| |
| $$t_C = t_0 + \frac{L - x}{c}, \,(3)$$ |
| $$t_C = t_0 + \frac{L - x}{c}, \tag{3}$$ |
| |
| |
| Из первого уравнения вычтем второе: |
| Из первого уравнения вычтем второе: |
| |
| |
| $$t_A – t_B = \frac{L}{c}. \,(4)$$ |
| $$t_A – t_B = \frac{L}{c}. \tag{4}$$ |
| |
| |
| А из первого уравнения вычтем третье |
| А из первого уравнения вычтем третье |
| |
| |
| $$t_A – t_C = \frac{2x}{c}. \,(5)$$ |
| $$t_A – t_C = \frac{2x}{c}. \tag{5}$$ |
| |
| |
| Из $(4)$ уравнения выразим $c = \frac{L}{t_A – t_B}$, а из $(5)$ $x = \frac{t_A – t_C}{2} \cdot c$, Тогда искомое расстояние |
| Из $(4)$ уравнения выразим $c = \frac{L}{t_A – t_B}$, а из $(5)$ $x = \frac{t_A – t_C}{2} \cdot c$, Тогда искомое расстояние |
| |
| |
| $$AO = L + x = L + \frac{t_A – t_C}{2}\frac{L}{t_A – t_B}$$ |
| $$AO = L + x = L + \frac{t_A – t_C}{2}\frac{L}{t_A – t_B}$$ |
| |
| |
| После преобразования |
| После преобразования |
| |
| |
| $$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L. \, (6)$$ |
| $$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L. \tag{6}$$ |
| |
| |
| Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение |
| Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение |
| |
| |
| $$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \; c = \frac{L}{t_A – t_B}$$ $$\frac{t_A – t_C}{2} = \frac{x}{c}$$ | | $$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \; c = \frac{L}{t_A – t_B}$$ $$\frac{t_A – t_C}{2} = \frac{x}{c}$$ |
| | | |
| после преобразований | | после преобразований |
| | | |
| $$t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$$ | | $$t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L, \; t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$$ | | $$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L, \; t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| | | |
