Решение

Пусть взрыв произошел в момент времени $t_0$, тогда время регистрации сигнала в точке $A$ равно:

$$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \tag{1}$$

где $x = BO$. Аналогично для точки $B$

$$t_B = t_0 + \frac{x}{c}, \tag{2}$$

Для точки $C$

$$t_C = t_0 + \frac{L - x}{c}, \tag{3}$$

Из первого уравнения вычтем второе:

$$t_A – t_B = \frac{L}{c}. \tag{4}$$

А из первого уравнения вычтем третье

$$t_A – t_C = \frac{2x}{c}. \tag{5}$$

Из $(4)$ уравнения выразим $c = \frac{L}{t_A – t_B}$, а из $(5)$ $x = \frac{t_A – t_C}{2} \cdot c$, Тогда искомое расстояние

$$AO = L + x = L + \frac{t_A – t_C}{2}\frac{L}{t_A – t_B}$$

После преобразования

$$AO = \frac{3t_A – 2t_B – t_C}{2(t_A – t_B)} \cdot L. \tag{6}$$

Для определения момента времени в который произошел взрыв, подставим в выражение

$$t_A = t_0 + \frac{L + x}{c}, \; c = \frac{L}{t_A – t_B}$$ $$\frac{t_A – t_C}{2} = \frac{x}{c}$$

после преобразований

$$t_0 = t_B - \frac{1}{2} \cdot (t_A – t_C)$$