Правка раздела «Решение»
ru/2.1.51.md
+1 −1
| ### Условие: | |||
| $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. | |||
|  | |||
| @@ -6,7 +6,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы. | |||
| Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). | |||
| Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). | |||
| Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | |||
| $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | |||
| Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ Плечо силы $R$ равно нулю. | |||
| Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ | |||
| ### Ответ: | |||
| $$a = g \sin(\alpha /2)$$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| ещё строк без изменений 19 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. | $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. | ||
|  |  | ||
| @@ -6,7 +6,7 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |
 | ||
| Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы. | Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы. | ||
| Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). | Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). | ||
| Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). | Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). | ||
| Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | ||
| $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | ||
| Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ Плечо силы $R$ равно нулю. | Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ Плечо силы $R$ равно нулю. | ||
| Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ | Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $$a = g \sin(\alpha /2)$$ | $$a = g \sin(\alpha /2)$$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| ещё строк без изменений 19 | |||