| Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). | | Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). |
| | | |
| Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). | | Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). |
| | | |
| Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | | Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты |
| | | |
| $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | | $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. |
| | | |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ Плечо силы $R$ равно нулю. | | Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид $$I \varepsilon = \Sigma M$$ произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ Плечо силы трения равно $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ а плечо силы $N$ равно $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ Плечо силы $R$ равно нулю. |
| | | |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ | | Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ Откуда $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ т.е. искомое ускорение равно $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ |
| | | |
| ### Ответ: | | ### Ответ: |
| | | |
| $$a = g \sin(\alpha /2)$$ | | $$a = g \sin(\alpha /2)$$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
