| @@ -1,44 +1,21 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.6.24.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.6.24.$ Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость $v_0$. Падая на планету, он приобретает вблизи ее поверхности скорость $v$. |
| | + | При какой наименьшей скорости вблизи поверхности этой планеты космический |
| | + | корабль покинет ее безвозвратно? (Такая скорость называется второй космической.) |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем закон сохраненя энергии для первого случая: |
| | + | $$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+U$$ |
| | + | На большом расстоянии потенциальная энергия равняется нулю. В конце равна условно $U$. |
| | | |
| | + | Для второго случая сумма потенциальной и кинетической энегрии равна нулю: |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | + | $$\frac{mu^2}{2}+U=0$$ |
| | + | Подставим потенциальную энергию из первого уравнения во второе и сократим массы и двойки: |
| | + | $$u^2+v_0^2-v^2=0$$ |
| | + | Отсюда получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{u=\sqrt{v^2-v_0^2}}$$ |
| | | #### Ответ |
| | + | $$u=\sqrt{v^2-v_0^2}$$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
