Решение

Когда колебания уже прекратились, шарики движутся с одинаковым ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона

$$\left\{\begin{matrix} m_1a_1 = -k\Delta x \\ m_2a_2 = -F + k\Delta x \end{matrix}\right.$$

Сократим на $a$

$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{-k\Delta x}{-F + k\Delta x}$$

Выражаем $\Delta x$

$$\boxed{\Delta x = \frac{F}{k} \frac{m_1}{m_1+m_2}}$$

Сразу после прекращения действия силы на тела будет действовать сила упругости $k \Delta x$, которая и будет вызывать ускорение

$$\left\{\begin{matrix} m_1a_1 = -k\Delta x \\ m_2a_2 = k\Delta x \end{matrix}\right.$$

Откуда выражаем $a_1$

$$\boxed{a_1 = -\frac{F}{m_{2}+m_{1}}}$$

И аналогично $a_2$

$$\boxed{a_1 = \frac{Fm_{1}}{m_{2}(m_{1}+m_{2})}}$$