Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.8.44.md
+25 −37
| @@ -1,44 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.8.44.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.8.44.$ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по | ||
| + | перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения | ||
| + | между бруском и плоскостью равен µ? | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + |  | ||
| − | ### Решение | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. | ||
| + | $$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$ | ||
| + | Из однородности стержня ясно, что: | ||
| + | $$m_1=\frac{m}{L}x$$ | ||
| + | $$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$ | ||
| + | Подставим: | ||
| + | $$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$ | ||
| + | Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$: | ||
| + | $$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$ | ||
| + | Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: | ||
| + | $$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$ | ||
| + | Выражаем плечо в единицах длины стержня: | ||
| + | $$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$ | ||
| + | Подставим в уравнение силы: | ||
| + | $$\mu mg(\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1)=F$$ | ||
| + | Сократим длину и рацианализируем дроби:: | ||
| + | $$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$ | ||
| + | Отсюда получаем ответ: | ||
| + | $$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$ | ||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$F=\mu mg(\sqrt{2}-1)$$ | ||
| @@ -1,44 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.8.44.$ [Вставьте описание задачи] | $2.8.44.$ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плоскости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по | ||
| перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения | |||
| между бруском и плоскостью равен µ? | |||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
|  | |||
| ### Решение | #### Решение | ||
| Распишем уравнение статики относительно точки, что будет неподвижна в начале движания. Условно расстояние $x$ от точки приложения силы $F$. По разные стороны от этой точки, будет разная масса стержня. | |||
| $$\mu m_1g\frac{x}{2}+\mu m_2\frac{L-x}{2}=Fx$$ | |||
| Из однородности стержня ясно, что: | |||
| $$m_1=\frac{m}{L}x$$ | |||
| $$m_2=\frac{m}{L}(L-x)$$ | |||
| Подставим: | |||
| $$\mu mg\frac{x^2}{2L}+\mu mg\frac{(L-x)^2}{2L}=Fx$$ | |||
| Раскроем скобки, поделив обе части уравнения на $x$: | |||
| $$\mu mg(\frac{x}{L}+\frac{L}{2x}-1)=F$$ | |||
| Возьмем производную силы по плечу приложенной силы, ведь нам требуется миинимум: | |||
| $$\frac{d}{dx}F=\frac{1}{L}-\frac{L}{2x^2}=0$$ | |||
| Выражаем плечо в единицах длины стержня: | |||
| $$x=\frac{L}{\sqrt{2}}$$ | |||
| Подставим в уравнение силы: | |||
| $$\mu mg(\frac{\frac{L}{\sqrt{2}}}{L}+\frac{L}{2\frac{L}{\sqrt{2}}}-1)=F$$ | |||
| Сократим длину и рацианализируем дроби:: | |||
| $$\mu mg(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1)=F$$ | |||
| Отсюда получаем ответ: | |||
| $$\boxed{F=\mu mg(\sqrt{2}-1)}$$ | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$F=\mu mg(\sqrt{2}-1)$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||