Решение

Для начала нужно учесть, что при разделении изделия, жесткость каждого увеличевается. В нашем случае вдвое.
$$k=\frac{k'}{2}$$
Запишем закон сохранения энергии(с учетом того растягиваются две резинки):
$$mgx_0=2\frac{k'\Delta l^2}{2}$$
Выразим жесткость:
$$\frac{mgx_0}{2\Delta l^2}=k$$
Запишем теорему Пифагора для треугольника, гипотенуза которой ратсянутый шнур:
$$(l+\Delta l)^2=l^2+x_0^2$$
Получаем квадратное уравнения для удлинения:
$$\Delta l^2+2l\Delta l-x_0^2=0$$
При решении получаем такое выражение:
$$\Delta l=-l\pm\sqrt{l^2+x_0^2}$$
Стоит учесть две вещи:

1. Резиновый шнур не сжимается.
2. Расстояние не может быть отрицательным.

Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом:
$$\Delta l=\sqrt{l^2+x_0^2}-l$$
Подставим это в выражение жесткости:
$$\boxed{k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2}}$$