Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.3.44.md
+41 −37
| @@ -1,44 +1,48 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.3.44.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.3.44.$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы $m$, который затем без | ||
| + | толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура? | ||
| − | |||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Для начала нужно учесть, что при разделении изделия, жесткость каждого увеличевается. В нашем случае вдвое. | ||
| + | $$ | ||
| + | k=\frac{k'}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Запишем закон сохранения энергии(с учетом того растягиваются две резинки): | ||
| + | $$ | ||
| + | mgx_0=2\frac{k'\Delta l^2}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Выразим жесткость: | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{mgx_0}{2\Delta l^2}=k | ||
| + | $$ | ||
| + | Запишем теорему Пифагора для треугольника, гипотенуза которой ратсянутый шнур: | ||
| + | $$ | ||
| + | (l+\Delta l)^2=l^2+x_0^2 | ||
| + | $$ | ||
| + | Получаем квадратное уравнения для удлинения: | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta l^2+2l\Delta l-x_0^2=0 | ||
| + | $$ | ||
| + | При решении получаем такое выражение: | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta l=-l\pm\sqrt{l^2+x_0^2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Стоит учесть две вещи: | ||
| + | 1. Резиновый шнур не сжимается. | ||
| + | 2. Расстояние не может быть отрицательным. | ||
| − | ### Решение | ||
| + | Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом: | ||
| + | $$ | ||
| + | \Delta l=\sqrt{l^2+x_0^2}-l | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставим это в выражение жесткости: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2}} | ||
| + | $$ | ||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | |||
| + | $$ | ||
| + | k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,44 +1,48 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.3.44.$ [Вставьте описание задачи] | $2.3.44.$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы $m$, который затем без | ||
| толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура? | |||
| #### Решение | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | Для начала нужно учесть, что при разделении изделия, жесткость каждого увеличевается. В нашем случае вдвое. | ||
| $$ | |||
| k=\frac{k'}{2} | |||
| $$ | |||
| Запишем закон сохранения энергии(с учетом того растягиваются две резинки): | |||
| $$ | |||
| mgx_0=2\frac{k'\Delta l^2}{2} | |||
| $$ | |||
| Выразим жесткость: | |||
| $$ | |||
| \frac{mgx_0}{2\Delta l^2}=k | |||
| $$ | |||
| Запишем теорему Пифагора для треугольника, гипотенуза которой ратсянутый шнур: | |||
| $$ | |||
| (l+\Delta l)^2=l^2+x_0^2 | |||
| $$ | |||
| Получаем квадратное уравнения для удлинения: | |||
| $$ | |||
| \Delta l^2+2l\Delta l-x_0^2=0 | |||
| $$ | |||
| При решении получаем такое выражение: | |||
| $$ | |||
| \Delta l=-l\pm\sqrt{l^2+x_0^2} | |||
| $$ | |||
| Стоит учесть две вещи: | |||
| 1. Резиновый шнур не сжимается. | |||
| 2. Расстояние не может быть отрицательным. | |||
| ### Решение | Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом: | ||
| $$ | |||
| \Delta l=\sqrt{l^2+x_0^2}-l | |||
| $$ | |||
| Подставим это в выражение жесткости: | |||
| $$ | |||
| \boxed{k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2}} | |||
| $$ | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2} | ||
| $$ | |||
| __Пример ответа__: | |||