Решение

Так как груз прикреплён к середине шнура, и растягиваются *две половины* шнура, каждая из которых действует независимо, то их индивидуальная жёсткость обозначим как $k'$. Тогда общая эквивалентная жёсткость системы:

$$k=\frac{k'}{2}$$

Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия груза при максимальном опускании равна потенциальной энергии упругости обеих половин шнура:

$$mgx_0=2\frac{k'\Delta l^2}{2}$$

Подставляя $k' = 2k$, получаем:

$$mgx_0 = 2k \Delta l^2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{mgx_0}{2\Delta l^2}$$

Теперь выразим $\Delta l$ — удлинение каждой половины шнура — через $x_0$ и $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза — натянутый шнур $l + \Delta l$, катеты — $l$ и $x_0$:

$$(l + \Delta l)^2 = l^2 + x_0^2$$

Раскроем скобки:

$$\Delta l^2 + 2l \Delta l = x_0^2$$

Это квадратное уравнение относительно $\Delta l$:

$$\Delta l^2 + 2l \Delta l - x_0^2 = 0$$

Решим его:

$$\Delta l = -l \pm \sqrt{l^2 + x_0^2}$$

Стоит учесть две вещи:

1. Резиновый шнур не сжимается.
2. Расстояние не может быть отрицательным.

Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом:

$$\Delta l=\sqrt{l^2+x_0^2}-l$$

Подставим это в выражение жесткости:

$$k = \frac{mgx_0}{2\left( \sqrt{l^2 + x_0^2} - l \right)^2}$$