Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от 6 февр. 2025 г., 17:57

правка #13110 предыдущая #13109 ← раньше позже →

ru/4.2.15.md +35 −34

		@@ -1,44 +1,45 @@
			### Условие

		−	$4.2.15.$ [Вставьте описание задачи]
		+	$4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус
		+	батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$.

		−	__Пример условия__:
		−	$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
		+	![К задаче $4.2.15$\|490x222, 50%](../../img/4.2.15/2025-02-06_20-24-34.png)

		−
			### Решение

		−	~~[Здесь должно быть ваше решение]~~
		+	Общая формула давления на малой площади:
		+	$$
		+	dF = p(h)ds \space\space\space (1)
		+	$$
		+	а) Нам нужно найти и просуммировать силы, действующие на малые участки цилиндра
		+	![](../../img/4.2.15/cilindr.png)
		+	$$
		+	ds = 2\pi{}Rdh \space\space\space (2)
		+	$$
		+	Давление будет находится:
		+	$$
		+	p(h) = ρgh\space\space\space (3)
		+	$$
		+	Подставляем выражения $(2)$ и $(3)$ в выражение $(1)$:
		+	$$
		+	dF = 2\pi{}Rρghdh\space\space\space (4)
		+	$$
		+	Интегрируем выражение $(4)$. Правую сторону интегрируем от $0$ до $H + \frac{L}{2}$:
		+	$$
		+	F = 2\pi{}Rρg\int{hdh} = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2\space\space\space (5)
		+	$$
		+	б) Аналогично находим небольшую площадь:
		+	![](../../img/4.2.15/rect.png)
		+	$$
		+	ds = Ldh\space\space\space (6)
		+	$$
		+	Подставляем выражения $(6)$ и $(3)$ в выражение $(1)$ и проинтегрируем от $0$ до $R+H$:
		+	$$
		+	F = ρgL\int{hdh} = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2\space\space\space (7)
		+	$$

		−	__Пример решения__:
		−	Ускорение тела задано как

		−	$$a(t) = bt$$

		−	Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
		−
		−	$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
		−
		−	Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
		−
		−	$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
		−
		−	Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
		−
		−	$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
		−
		−	Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
		−
		−	$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
		−
		−	Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
		−
		−	$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
		−
			#### Ответ
		−
		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
		−
		−
		−	__Пример ответа__:
		−	~~$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $~~$
		+	а) $F = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2$ $\space\space\space$
		+	б) $F = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2$

	@@ -1,44 +1,45 @@
	### Условие		### Условие

	$4.2.15.$ [Вставьте описание задачи]		$4.2.15^*.$ Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения $H$, если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус
			батискафа $R$, длина $L$, плотность жидкости $ρ$.

	__Пример условия__:		![К задаче $4.2.15$\|490x222, 50%](../../img/4.2.15/2025-02-06_20-24-34.png)
	$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.


	### Решение		### Решение

	~~[Здесь должно быть ваше решение]~~		Общая формула давления на малой площади:
			$$
			dF = p(h)ds \space\space\space (1)
			$$
			а) Нам нужно найти и просуммировать силы, действующие на малые участки цилиндра
			![](../../img/4.2.15/cilindr.png)
			$$
			ds = 2\pi{}Rdh \space\space\space (2)
			$$
			Давление будет находится:
			$$
			p(h) = ρgh\space\space\space (3)
			$$
			Подставляем выражения $(2)$ и $(3)$ в выражение $(1)$:
			$$
			dF = 2\pi{}Rρghdh\space\space\space (4)
			$$
			Интегрируем выражение $(4)$. Правую сторону интегрируем от $0$ до $H + \frac{L}{2}$:
			$$
			F = 2\pi{}Rρg\int{hdh} = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2\space\space\space (5)
			$$
			б) Аналогично находим небольшую площадь:
			![](../../img/4.2.15/rect.png)
			$$
			ds = Ldh\space\space\space (6)
			$$
			Подставляем выражения $(6)$ и $(3)$ в выражение $(1)$ и проинтегрируем от $0$ до $R+H$:
			$$
			F = ρgL\int{hdh} = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2\space\space\space (7)
			$$

	__Пример решения__:
	Ускорение тела задано как

	$$a(t) = bt$$

	Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:

	$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$

	Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:

	$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$

	Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:

	$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$

	Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:

	$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$

	Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:

	$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$

	#### Ответ		#### Ответ
			а) $F = \pi{}Rρg(H + \frac{L}{2})^2$ $\space\space\space$
	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]		б) $F = \frac{1}{2}ρgL(R + H)^2$


	__Пример ответа__:
	~~$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $~~$