Правка раздела «Решение»

Ismail правка от 13 февр. 2025 г., 20:26

правка #13193 предыдущая #12744 ← раньше

ru/2.7.14.md +1 −1

			### Условие

			$2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$.

			![К задаче $2.7.14$\|1280x888, 60%](../../img/2.7.14/1000006783.jpg)

			### Решение

			Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики:


			$$
			I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1}
			$$

			$$
			ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2}
			$$

			$$
			N=mg\cos\alpha\tag{3}
			$$

			$$
			\varepsilon R=a\tag{4}
			$$

			$$
			v=\sqrt{2al}\tag{5}
			$$

			Где $I$ — момент инерции цилиндра;

			$R$ — радиус цилиндра;

			$\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра;

			$a$ — линейное ускорение цилиндра;

			$v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти;

			$T$ — сила натяжения нити;
		@@ -43,7 +43,7 @@Решение

			$N$ — сила реакции опоры.

		−	Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле:
		+	Момент инерции тонкостенного цилиндра высчитывается по формуле:

			$$
			I=mR^2\tag{6}
			$$

			Подставим его в уравнение $(1)$:

			$$
			mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7}
			$$

			Сократим $R$;

			$$
			mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8}
			$$

			С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение:

			$$
			T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9}
			$$

			Выражаем $T$:

			$$
			T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10}
			$$

			Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$:

			$$
			a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11}
			$$

			Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ:

			$$
			\boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12}
			$$

			#### Ответ

			$$
			v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}
			$$
		ещё строк без изменений 43

	### Условие		### Условие

	$2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$.		$2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$.

	![К задаче $2.7.14$\|1280x888, 60%](../../img/2.7.14/1000006783.jpg)		![К задаче $2.7.14$\|1280x888, 60%](../../img/2.7.14/1000006783.jpg)

	### Решение		### Решение

	Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики:		Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики:


	$$		$$
	I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1}		I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1}
	$$		$$

	$$		$$
	ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2}		ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2}
	$$		$$

	$$		$$
	N=mg\cos\alpha\tag{3}		N=mg\cos\alpha\tag{3}
	$$		$$

	$$		$$
	\varepsilon R=a\tag{4}		\varepsilon R=a\tag{4}
	$$		$$

	$$		$$
	v=\sqrt{2al}\tag{5}		v=\sqrt{2al}\tag{5}
	$$		$$

	Где $I$ — момент инерции цилиндра;		Где $I$ — момент инерции цилиндра;

	$R$ — радиус цилиндра;		$R$ — радиус цилиндра;

	$\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра;		$\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра;

	$a$ — линейное ускорение цилиндра;		$a$ — линейное ускорение цилиндра;

	$v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти;		$v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти;

	$T$ — сила натяжения нити;		$T$ — сила натяжения нити;
	@@ -43,7 +43,7 @@Решение

	$N$ — сила реакции опоры.		$N$ — сила реакции опоры.

	Момент инерции тонкостенного цилиндра выщитывается по формуле:		Момент инерции тонкостенного цилиндра высчитывается по формуле:

	$$		$$
	I=mR^2\tag{6}		I=mR^2\tag{6}
	$$		$$

	Подставим его в уравнение $(1)$:		Подставим его в уравнение $(1)$:

	$$		$$
	mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7}		mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7}
	$$		$$

	Сократим $R$;		Сократим $R$;

	$$		$$
	mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8}		mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8}
	$$		$$

	С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение:		С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение:

	$$		$$
	T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9}		T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9}
	$$		$$

	Выражаем $T$:		Выражаем $T$:

	$$		$$
	T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10}		T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10}
	$$		$$

	Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$:		Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$:

	$$		$$
	a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11}		a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11}
	$$		$$

	Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ:		Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ:

	$$		$$
	\boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12}		\boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12}
	$$		$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}		v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 43