| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. | | $2.7.14.$ На тонкостенный цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке так, что при соскальзывании цилиндра с наклонной плоскости нить остается параллельной наклонной плоскости. Какую скорость приобрел цилиндр, если его ось прошла расстояние $l$? Угол наклона плоскости $\alpha $, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром $\mu$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: | | Запишем уравнения моментов сил, законов Ньютона и кинематики: |
| | | |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} | | I\varepsilon =TR-\mu NR\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} | | ma=mg\sin\alpha -(T+\mu N)\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N=mg\cos\alpha\tag{3} | | N=mg\cos\alpha\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \varepsilon R=a\tag{4} | | \varepsilon R=a\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v=\sqrt{2al}\tag{5} | | v=\sqrt{2al}\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Где $I$ — момент инерции цилиндра; | | Где $I$ — момент инерции цилиндра; |
| | | |
| $R$ — радиус цилиндра; | | $R$ — радиус цилиндра; |
| | | |
| $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; | | $\varepsilon $ — угловое ускорение цилиндра; |
| | | |
| $a$ — линейное ускорение цилиндра; | | $a$ — линейное ускорение цилиндра; |
| | | |
| $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; | | $v$ — линейная скорость цилиндра, которую требуют найти; |
| | | |
| $T$ — сила натяжения нити; | | $T$ — сила натяжения нити; |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставим его в уравнение $(1)$: | | Подставим его в уравнение $(1)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} | | mR^2\varepsilon =R(T-\mu N)\tag{7} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сократим $R$; | | Сократим $R$; |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} | | mR\varepsilon =T-\mu N\tag{8} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение: | | С учётом уравнений $(2)$ и $(4)$ получаем, выражение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} | | T-\mu N=mg\sin\alpha -T-\mu N\tag{9} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Выражаем $T$: | | Выражаем $T$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} | | T=\frac{mg\sin\alpha }{2}\tag{10} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$: | | Зная данное выражение и испоьзуя уравнения $(2)$ и $(3)$, выводим линейное ускорение $a$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} | | a=\frac{g(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}{2}\tag{11} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ: | | Подставим это в уравнение $(5)$ и получаем ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} | | \boxed{v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )}}\tag{12} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} | | v=\sqrt{gl(\sin\alpha -2\mu \cos\alpha )} |
| $$ | | $$ |
