$7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.
### Решение
Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков:
$$
F_0=E_\text{ост}q_0,
$$
где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка.
Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать:
$$
E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1}
$$
где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы.
Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее и немного преобразовывая, получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1].
Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна:
$$
F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0,
$$
или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы):
$$
F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0.
$$
Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость:
$$
v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}.
$$
Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то
$7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.
$7.4.29.$ Сфера массы $m$, имеющая заряд $q$, в результате взрыва распадается на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна $v$ и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков.
### Решение
### Решение
Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков:
Из сферической симметрии ясно, что в процессе разлета на каждый данный осколок будет действовать одинаковая радиальная кулоновская сила $F_0$ со стороны остальных осколков:
$$
$$
F_0=E_\text{ост}q_0,
F_0=E_\text{ост}q_0,
$$
$$
где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка.
где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля, созданного остальными осколками по отношению к рассматриваемому осколку, в точке нахождения этого рассматриваемого осколка.
Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать:
Если разлет будем представлять как расширение утончающейся заряженной сферы, то для напряженности $E_\text{ост}$ можно записать:
$$
$$
E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1}
E_\text{ост}=\frac{E_\text{сф}}{2},\tag{1}
$$
$$
где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы.
где $E_\text{сф}$ есть напряженность у наружней поверхности текущей сферы.
Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее и немного преобразовывая, получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1].
Равенство $(1)$ объясняют следующим образом. Пусть имеется заряженная сферическая оболочка из тонкого металла; выберем на ее наружней поверхности малый участок площади $\Delta S$ с зарядом $q_0$. В точке вблизи участка $\Delta S$ снаружи сферической оболочки поле обозначим через $E_\text{сф}$. В точке вблизи участка $\Delta S$ внутри сферической оболочки поле равно нулю (оболочка металлическая). Пусть участок с зарядом $q_0$ достаточно близок к рассмотренным точкам, так что этот участок будем считать плоским; значит, он подобно пластине создает одинаковые напряженности по обе стороны от него. Можно говорить, что суммарное поле снаружи оболочки создается полями заряда $q_0$ и заряда $q_\text{ост}$ остальных участков сферы по отношению к $\Delta S$, то есть $E_\text{сф}=E_0+E_\text{ост}$ (где $E_\text{ост}$ есть напряженность поля от заряда $q_\text{ост}$). В самой же оболочке у участка $\Delta S$ суммарное поле равно нулю, так что поля зарядов $q_0$ и $q_\text{ост}$ должны компенсировать друг друга: $E_0=E_\text{ост}$. Подставляя это уравнение в предыдущее и немного преобразовывая, получаем формулу $(1)$; см. об этом в статье [1].
Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна:
Сила Кулона на данный осколок с учетом сказанного равна:
$$
$$
F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0,
F_0=\frac{E_\text{сф}}{2}q_0,
$$
$$
или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы):
или, с учетом $E_\text{сф}=\dfrac{kq}{r^2}$ (где $r$ есть радиус текущей сферы):
$$
$$
F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0.
F_0=\frac{kq}{2r^2}q_0.
$$
$$
Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
Разгон осколка будет продолжать до тех пор, пока сфера не станет практически бесконечной. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость:
Подстановка этого результата в $(2)$ с учетом $q_0=q/N$ и $m_0=m/N$ (где $N$ есть число осколков) после преобразований дает искомую максимальную скорость:
$$
$$
v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}.
v_\max=\sqrt{v^2+\frac{kq^2\strut}{mR}}.
$$
$$
Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то
Это можно переписать иначе. Поскольку $k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$, то
