Правка раздела «Решение»
ru/4.1.20.md
+11 −1
| ### Условие | |||
| $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | |||
| ### Решение | |||
| В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | |||
| $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | |||
| где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | |||
| По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | |||
| $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | |||
| По закону всемирного тяготения Ньютона: | |||
| @@ -18,7 +18,17 @@Решение | |||
| $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | |||
| − | Подставим в выражение | ||
| + | Подставим в выражение для давления: | ||
| + | |||
| + | $$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$ | ||
| + | |||
| + | Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю. | ||
| + | |||
| + | $$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | В центре планеты $r=0$ давление будет: | ||
| + | |||
| + | $$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | |||
| $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | |||
| ещё строк без изменений 4 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | ||
| $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | ||
| где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | ||
| По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | ||
| $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | ||
| По закону всемирного тяготения Ньютона: | По закону всемирного тяготения Ньютона: | ||
| @@ -18,7 +18,17 @@Решение | |||
| $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | ||
| Подставим в выражение | Подставим в выражение для давления: | ||
| $$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$ | |||
| Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю. | |||
| $$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$ | |||
| В центре планеты $r=0$ давление будет: | |||
| $$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | ||
| $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | ||
| ещё строк без изменений 4 | |||