| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | | $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | | В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: |
| | | |
| $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | | $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ |
| | | |
| где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | | где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. |
| | | |
| По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | | По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: |
| | | |
| $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | | $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ |
| | | |
| По закону всемирного тяготения Ньютона: | | По закону всемирного тяготения Ньютона: |
| | | |
| $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | | $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ |
| | | |
| Подставим в выражение для давления: | | Подставим в выражение для давления: |
| | | |
| $$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$ | | $$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$ |
| | | |
| Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю. | | Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю. |
| | | |
| $$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$ | | $$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$ |
| | | |
| В центре планеты $r=0$ давление будет: | | В центре планеты $r=0$ давление будет: |
| | | |
| $$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$ | | $$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$ |
| | | |
| ### Альтеонативное решение | | ### Альтеонативное решение |
| Силу гидростатического давления можно найти из равновесия столба жидкости: сила гравитационного притяжения, приложенная к центру столба, будет уравновешена силой гидростатического давления: | | Силу гидростатического давления можно найти из равновесия столба жидкости: сила гравитационного притяжения, приложенная к центру столба, будет уравновешена силой гидростатического давления: |
|  | |  |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_r = mg(r) | | F_r = mg(r) |
| $$ | | $$ |
| Для того, чтобы определить напряжёность гравитационного поля внутри шара, воспользуемся теоремой Гаусса: | | Для того, чтобы определить напряжёность гравитационного поля внутри шара, воспользуемся теоремой Гаусса: |
| $$ | | $$ |
| g(r) \cdot 4\pi l^2 = \frac{4\pi \gamma M l^3}{R^3} \quad \Rightarrow \quad g(r) = | | g(r) \cdot 4\pi l^2 = \frac{4\pi \gamma M l^3}{R^3} \quad \Rightarrow \quad g(r) = |
| \frac{\gamma M l}{R^3} | | \frac{\gamma M l}{R^3} |
| $$ | | $$ |
| где $l$ - расстояние от центра планеты, до центра столба жидкости. И равно: | | где $l$ - расстояние от центра планеты, до центра столба жидкости. И равно: |
| $$ | | $$ |
| l = r + \frac{R-r}{2} | | l = r + \frac{R-r}{2} |
| M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 | | M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 |
| $$ | | $$ |
| Тогда давление будет равно: | | Тогда давление будет равно: |
| $$ | | $$ |
| P_r = \frac{F_r}{S} = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right) | | P_r = \frac{F_r}{S} = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right) |
| $$ | | $$ |
| При $r = 0$: | | При $r = 0$: |
| $$ | | $$ |
| P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2} | | P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2} |
| $$ | | $$ |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | | $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ |
| | | |
| $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | | $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ |
