Правка раздела «Условие»
ru/1.5.10.md
+4 −0
| ### Условие: | |||
| $1.5.10.$ По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса $2r$ катится без проскальзывания колесо радиуса $r$. Найдите траекторию точки обода колеса | |||
| @@ -4,6 +4,10 @@Условие: | |||
|  | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Геометрическое Решение: | ||
| + |  | ||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| Данная траектория является так называемой [Гипоциклоидой](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0) Заданная параметричеким уравнением: | |||
| $$ | |||
| \begin{gathered}\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+\frac{\cos((k-1)t)}{k-1}\right)\\\y=r(k-1)\left(\sin t-\frac{\sin((k-1)t)}{k-1}\right)&\end{cases}\end{gathered} | |||
| $$ | |||
| При $r= R/2$, данная траетория ложиться на диаметр | |||
| ### Доказательство: | |||
| Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$, лежащей на оси $Ox$, где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $ (kr, 0) $, где $ k = \frac{R}{r} $. Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$, привязанной к катящейся окружности ($A$ переходит в $ A' $). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $ C' $ в точку $ C'' $ и повернулся относительно точки $O$ на угол $ t $. | |||
| Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $ CA $ и $ C' A' $) равен $ t - kt = -(k-1)t $. Во-вторых, координаты точки $ C' $ будут такими: $ (\cos(t)(k-1)r, \sin(t)(k-1)r) $. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $ A' $: | |||
| $$ | |||
| \begin{cases} x = \cos(t)(k-1)r + \cos((k-1)t)r \\\ y = \sin(t)(k-1)r - \sin((k-1)t)r \end{cases} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: | |||
| Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра. | |||
| ещё строк без изменений 22 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.5.10.$ По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса $2r$ катится без проскальзывания колесо радиуса $r$. Найдите траекторию точки обода колеса | $1.5.10.$ По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса $2r$ катится без проскальзывания колесо радиуса $r$. Найдите траекторию точки обода колеса | ||
| @@ -4,6 +4,10 @@Условие: | |||
|  |  | ||
| Геометрическое Решение: | |||
|  | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| Данная траектория является так называемой [Гипоциклоидой](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0) Заданная параметричеким уравнением: | Данная траектория является так называемой [Гипоциклоидой](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0) Заданная параметричеким уравнением: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{gathered}\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+\frac{\cos((k-1)t)}{k-1}\right)\\\y=r(k-1)\left(\sin t-\frac{\sin((k-1)t)}{k-1}\right)&\end{cases}\end{gathered} | \begin{gathered}\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+\frac{\cos((k-1)t)}{k-1}\right)\\\y=r(k-1)\left(\sin t-\frac{\sin((k-1)t)}{k-1}\right)&\end{cases}\end{gathered} | ||
| $$ | $$ | ||
| При $r= R/2$, данная траетория ложиться на диаметр | При $r= R/2$, данная траетория ложиться на диаметр | ||
| ### Доказательство: | ### Доказательство: | ||
| Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$, лежащей на оси $Ox$, где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $ (kr, 0) $, где $ k = \frac{R}{r} $. Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$, привязанной к катящейся окружности ($A$ переходит в $ A' $). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $ C' $ в точку $ C'' $ и повернулся относительно точки $O$ на угол $ t $. | Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$, лежащей на оси $Ox$, где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $ (kr, 0) $, где $ k = \frac{R}{r} $. Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$, привязанной к катящейся окружности ($A$ переходит в $ A' $). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $ C' $ в точку $ C'' $ и повернулся относительно точки $O$ на угол $ t $. | ||
| Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $ CA $ и $ C' A' $) равен $ t - kt = -(k-1)t $. Во-вторых, координаты точки $ C' $ будут такими: $ (\cos(t)(k-1)r, \sin(t)(k-1)r) $. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $ A' $: | Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $ CA $ и $ C' A' $) равен $ t - kt = -(k-1)t $. Во-вторых, координаты точки $ C' $ будут такими: $ (\cos(t)(k-1)r, \sin(t)(k-1)r) $. Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $ A' $: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{cases} x = \cos(t)(k-1)r + \cos((k-1)t)r \\\ y = \sin(t)(k-1)r - \sin((k-1)t)r \end{cases} | \begin{cases} x = \cos(t)(k-1)r + \cos((k-1)t)r \\\ y = \sin(t)(k-1)r - \sin((k-1)t)r \end{cases} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра. | Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра. | ||
| ещё строк без изменений 22 | |||