Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #13987 предыдущая #12892 ← раньше позже →
ru/2.3.44.md +50 −27
@@ -1,50 +1,73 @@
### Условие
−$2.3.44.$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы $m$, который затем без
−толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура?
+$2.3.44.$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы $m$, который затем без толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно $x_0$. Какова жесткость этого шнура?
−![К задаче $2.3.44$|290x97, 50%](../../img/2.3.44/2.3.44.PNG)
+![К задаче $2.3.44$|525x189, 40%](../../img/2.3.44/2.3.44.png)
#### Решение
−Для начала нужно учесть, что при разделении изделия, жесткость каждого увеличевается. В нашем случае вдвое.
+
+Так как груз прикреплён к середине шнура, и растягиваются *две половины* шнура, каждая из которых действует независимо, то их индивидуальная жёсткость обозначим как \( k' \). Тогда общая эквивалентная жёсткость системы:
+
$$
k=\frac{k'}{2}
$$
−Запишем закон сохранения энергии(с учетом того растягиваются две резинки):
+
+Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия груза при максимальном опускании равна потенциальной энергии упругости обеих половин шнура:
+
$$
mgx_0=2\frac{k'\Delta l^2}{2}
$$
−Выразим жесткость:
−$$
−\frac{mgx_0}{2\Delta l^2}=k
−$$
−Запишем теорему Пифагора для треугольника, гипотенуза которой ратсянутый шнур:
−$$
−(l+\Delta l)^2=l^2+x_0^2
−$$
−Получаем квадратное уравнения для удлинения:
−$$
−\Delta l^2+2l\Delta l-x_0^2=0
−$$
−При решении получаем такое выражение:
−$$
−\Delta l=-l\pm\sqrt{l^2+x_0^2}
−$$
+
+Подставляя \( k' = 2k \), получаем:
+
+\[
+mgx_0 = 2k \Delta l^2 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{mgx_0}{2\Delta l^2}
+\]
+
+
+Теперь выразим \( \Delta l \) — удлинение каждой половины шнура — через \( x_0 \) и \( l \). Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза — натянутый шнур \( l + \Delta l \), катеты — \( l \) и \( x_0 \):
+
+\[
+(l + \Delta l)^2 = l^2 + x_0^2
+\]
+
+Раскроем скобки:
+
+\[
+\Delta l^2 + 2l \Delta l = x_0^2
+\]
+
+Это квадратное уравнение относительно \( \Delta l \):
+
+\[
+\Delta l^2 + 2l \Delta l - x_0^2 = 0
+\]
+
+Решим его:
+
+\[
+\Delta l = -l \pm \sqrt{l^2 + x_0^2}
+\]
+
Стоит учесть две вещи:
1. Резиновый шнур не сжимается.
2. Расстояние не может быть отрицательным.
Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом:
+
$$
\Delta l=\sqrt{l^2+x_0^2}-l
$$
+
Подставим это в выражение жесткости:
−$$
−\boxed{k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2}}
−$$
+\[
+k = \frac{mgx_0}{2\left( \sqrt{l^2 + x_0^2} - l \right)^2}
+\]
+
#### Ответ
−$$
−k=\frac{mgx_0}{2(\sqrt{l^2+x_0^2}-l)^2}
−$$
+
+\[
+\boxed{k = \frac{mgx_0}{2\left( \sqrt{l^2 + x_0^2} - l \right)^2}}
+\]