| @@ -1,25 +1,67 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $14.2.2.$ Время жизни неподвижной частицы $τ$. С какой скоростью должна двигаться эта частица, чтобы пролететь расстояние $l$ ? |
| $14.2.2.$ Время жизни неподвижной частицы $τ$. С какой скоростью должна двигаться эта частица, чтобы пролететь расстояние $l$ ? |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| В лабораторной системе отсчёта время жизни движущейся частицы увеличивается за счёт релятивистского эффекта: |
| В лабораторной системе отсчёта время жизни движущейся частицы увеличивается за счёт релятивистского эффекта: |
| |
| |
| $\mathrm{\tau}^{'}=\frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{\mathrm{\upsilon}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}}}$ |
| \[ |
| |
| \tau' = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} |
| |
| \] |
| |
| |
| В лабораторной системе частица должна успеть пролететь расстояние $l$ за время $\mathrm{\tau}^{'}$: |
| Частица должна пролететь расстояние \( l \) за время \( \tau' \): |
| |
| |
| $l\lt\upsilon\mathrm{\tau}^{'}$ |
| \[ |
| |
| l < v \tau' |
| |
| \] |
| |
| |
| $l\lt\frac{\upsilon\tau}{\sqrt{1-\frac{\mathrm{\upsilon}^{2}}{\mathrm{c}^{2}}}}$ |
| Подставим выражение для \( \tau' \): |
| |
| |
| Выразим отсюда $\upsilon$: |
| \[ |
| |
| l < \frac{v \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} |
| |
| \] |
| |
| |
| $\upsilon\gt \frac{c}{\sqrt{1+\left( {\frac{\tau c}{l}} \right)^{2}}}$ |
| Решим это неравенство относительно \( v \). Переносим всё к одной стороне и преобразуем: |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| \frac{v \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} > l |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Разделим обе части на \( \tau \), возведём в квадрат и выразим \( v \): |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| \frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2 |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Умножим обе части на \( 1 - \frac{v^2}{c^2} \) и решим: |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v^2 > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2 \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону: |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v^2 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2 v^2 > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2 |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v^2 \left( 1 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2 \right) > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2 |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| Теперь выразим \( v \): |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v^2 > \frac{\left( \frac{l}{\tau} \right)^2}{1 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2} |
| |
| \] |
| |
| |
| |
| \[ |
| |
| v > \frac{c}{\sqrt{1 + \left( \frac{\tau c}{l} \right)^2}} |
| |
| \] |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| |
| $\upsilon\gt \frac{c}{\sqrt{1+\left( {\frac{\tau c}{l}} \right)^{2}}}$ |
| \[ |
| |
| v > \frac{c}{\sqrt{1 + \left( \frac{\tau c}{l} \right)^2}} |
| |
| \] |
