$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
+
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза.
−
Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
+
Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
−
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
+
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
$$
−
откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
+
откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
−
Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:
+
+
$$
+
CV_0=Q_\text{max}.
+
$$
+
+
Сопоставление производной по времени от закона $(2)$
+
+
$$
+
dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
+
$$
+
+
с формулой $(1)$ дает:
+
+
$$
+
I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
$$
#### После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
$$
L\frac{di}{dt}+iR=0.
$$
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:
$$
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
$$
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi$ есть начальная фаза.
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза.
Начальную фазу $\varphi$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
$$
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi),
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
$$
$$
откуда видим: $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
$$
Для определения максимума $I_\text{max}$ тока проинтегрируем по времени формулу $(1)$, то есть найдем закон изменения заряда конденсатора:
Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:
$$
CV_0=Q_\text{max}.
$$
Сопоставление производной по времени от закона $(2)$
$$
dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
$$
с формулой $(1)$ дает:
$$
I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
$$
$$
#### После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$
#### После замыкания $\boldsymbol{K_2}$ и размыкания $\boldsymbol{K_1}$
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
$$
$$
L\frac{di}{dt}+iR=0.
L\frac{di}{dt}+iR=0.
$$
$$
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем:
$$
$$
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
$$
$$
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
