$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
$$
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
$$
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания [1]. Его решением является функция:
$$
@@ -28,7 +28,7 @@После замыкания ключа $K_1$
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_i).
$$
−
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза.
+
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза тока.
Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
$$
откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде:
$$
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0,
$$
и получим, что
$$
q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2}
$$
Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$:
Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:
$$
CV_0=Q_\text{max}.
$$
Сопоставление производной по времени от закона $(2)$
$$
dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
$$
с формулой $(1)$ дает:
$$
I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
$$
#### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
$$
L\frac{di}{dt}+iR=0.
$$
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [2], по которой ток убывает со временем:
$$
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
$$
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
[2] Д. В. Подлесный. Переходные процессы в $RL$-цепях. Потенциал, 2020, №8.
#### Ответ: $V_0R\sqrt{\dfrac{C}{L}}$.
ещё строк без изменений 85
### Условие
### Условие
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
$11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$?
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле:
$$
$$
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0.
$$
$$
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания [1]. Его решением является функция:
Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания [1]. Его решением является функция:
$$
$$
@@ -28,7 +28,7 @@После замыкания ключа $K_1$
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_i).
i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_i).
$$
$$
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза.
где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза тока.
Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком:
$$
$$
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i),
$$
$$
откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче:
$$
$$
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1}
$$
$$
Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде:
Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде:
$$
$$
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0,
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0,
$$
$$
и получим, что
и получим, что
$$
$$
q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2}
q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2}
$$
$$
Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$:
Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$:
Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:
Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$:
$$
$$
CV_0=Q_\text{max}.
CV_0=Q_\text{max}.
$$
$$
Сопоставление производной по времени от закона $(2)$
Сопоставление производной по времени от закона $(2)$
$$
$$
dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t)
$$
$$
с формулой $(1)$ дает:
с формулой $(1)$ дает:
$$
$$
I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0.
$$
$$
#### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$
#### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура:
$$
$$
L\frac{di}{dt}+iR=0.
L\frac{di}{dt}+iR=0.
$$
$$
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [2], по которой ток убывает со временем:
Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [2], по которой ток убывает со временем:
$$
$$
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t},
$$
$$
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется.
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
Значит, напряжение на резисторе убывает по закону:
