| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$? | | $11.4.7.$ В изображенной на рисунке цепи конденсатор емкости $C$ заряжен до напряжения $V_0$. Сначала замыкают ключ $K_1$. В момент, когда ток через катушку индуктивности $L$ достигает своего максимального значения, замыкают ключ $K_2$ и размыкают ключ $K_1$. Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении $R$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### После замыкания ключа $K_1$ | | #### После замыкания ключа $K_1$ |
| | | |
| | | |
| Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура: | | Второе правило Кирхгофа для $LC$-контура: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0 | | L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле: | | или, с учетом $i=dq/dt$ и перестановки в этой формуле: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0. | | \frac{d^2i}{dt^2}+\frac{1}{LC}i=0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция: | | Это дифференциальное уравнение вида $\ddot x+\omega^2x=0$, описывающее гармонические колебания. Его решением является функция: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi). | | i=I_\text{max}\cos(\omega t+\varphi). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза. | | где $I_\text{max}$ есть амплитуда тока, $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, $\varphi_i$ есть начальная фаза. |
| | | |
| Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком: | | Начальную фазу $\varphi_i$ определим из начального момента времени, с учетом того, что ток в катушке в момент коммутации ключа $K_1$ не может измениться, как говорят, скачком: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i), | | 0=I_\text{max}\cos(\omega\cdot0+\varphi_i), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче: | | откуда видим: $\varphi_i=\dfrac{\pi}{2}$, так что решение указанного дифф. уравнения можно записать короче: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1} | | i=-I_\text{max}\sin(\omega t),\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде: | | Теперь перепишем второе правило Кирхгофа в виде: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0, | | \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и получим, что | | и получим, что |
| | | |
| $$ | | $$ |
| q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2} | | q=Q_\text{max}\cos(\omega t+\varphi_q).\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$: | | Начальную фазу $\varphi_q$ заряда найдем из условия, что ток через конденсатор (то есть производная заряда по времени) равен нулю при $t=0$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 0=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t+\varphi_q)\quad \Rightarrow\quad \varphi_q=0. | | 0=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t+\varphi_q)\quad \Rightarrow\quad \varphi_q=0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$: | | Величину $Q_\text{max}$ найдем из $(2)$ при $t=0$ и $q(0)=CV_0$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| CV_0=Q_\text{max}. | | CV_0=Q_\text{max}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сопоставление производной по времени от закона $(2)$ | | Сопоставление производной по времени от закона $(2)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t) | | dq/dt=-\omega Q_\text{max}\sin(\omega t) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| с формулой $(1)$ дает: | | с формулой $(1)$ дает: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0. | | I_\text{max}=\omega Q_\text{max}=\omega CV_0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$ | | #### После замыкания $K_2$ и размыкания $K_1$ |
| | | |
| | | |
| Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура: | | Второе правило Кирхгофа для $RL$-контура: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| L\frac{di}{dt}+iR=0. | | L\frac{di}{dt}+iR=0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем: | | Решением этого дифф. уравнения является функция с экспонентой [1], по которой ток убывает со временем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}, | | i=i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется. | | где $i_0$ есть ток в $RL$-контуре в начальный момент времени; при этом $i_0=I_\text{max}=\omega CV_0$, так как ток катушки при переключениях не меняется. |
| | | |
| Значит, напряжение на резисторе убывает по закону: | | Значит, напряжение на резисторе убывает по закону: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| u=R\cdot i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}=R\omega CV_0e^{-\tfrac{R}{L}t}, | | u=R\cdot i_0e^{-\tfrac{R}{L}t}=R\omega CV_0e^{-\tfrac{R}{L}t}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Как видно, напряжение $u$ монотонно падает со временем, так что максимум напряжения на резисторе оказывается при нулевом $t$: | | Как видно, напряжение $u$ монотонно падает со временем, так что максимум напряжения на резисторе оказывается при нулевом $t$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| U_\text{max}=R\omega CV_0=V_0R\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot C=V_0 R\sqrt{\frac{C}{L}}. | | U_\text{max}=R\omega CV_0=V_0R\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot C=V_0 R\sqrt{\frac{C}{L}}. |
