Решение

Пусть до включения тока в шине токи в сверхпроводнике (СП) отсутстовали, и магнитное поле (кратко — поле) в нем было равно нулю.

Далее рассматриваем ситуацию, когда по шине уже протекает ток. После включения тока в шине поле в СП так же должно остаться нулевым (сохранение магнитного потока!). В таком случае понятно, что в СП должны возникнуть свои токи, которые в сумме с током шины дадут нулевое поле внутри СП.

Зеркальный ток

Возникшие токи в СП можно можно заменить зеркальным током (метод зеркальных токов). Можно показать [1], что влияние СП можно моделировать зеркальным отражением тока шины относительно плоскости СП (рис. 1).

При этом мнимый ток (изображение) должен быть направлен противоположно току в шине (действительный ток). Это обусловлено тем, что на границе СП должна отсутствовать нормальная к границе составляющая индукции поля. В противном случае линия поля войдет в СП, что противоречит отсутствию поля в СП. (Сказанное проиллюстривано для произвольной точки на границе СП на рис. 1.)

Поле через шину

Рассмотрим приближение малого расстояния от шины до СП. Влияние СП на шину с током эквивалентно влиянию мнимого тока на эту шину. Ясно, что поле мнимого тока в окрестности шины можно рассматривать как суперпозицию полей плоскостей (как бы тонких пластин), из которых сложено изображение тока (рис. 2).

Тогда с учетом приближения шина просекается однородным полем мнимого тока (ведь поля каждой частичной пластины изображения сонаправлены и однородны — см. решение задачу $9.3.3$).

Без учета краевых эффектов по результатам решения задачи $9.3.3$ для поля просекающего шину имеем:

$$B=\frac{\mu_0I}{2a}.\tag{1}$$

Нахождение сил

Разумеется, шина не падает на СП, если сила Ампера, действующая на шину, больше или равна силе тяжести, действующей на шину. Рассмотрим ситуацию равенства этих сил.

Найдем силу Ампера [2] для линейного элемента шины согласно рис. 3.

$$d^3F_\text{A}=d^2I\cdot B\cdot dl=I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl.$$

Сила тяжести для этого же элемента:

$$d^3F_\text{т}=\rho g\,dh\,da\,dl,$$

где $\rho$ есть плотность массовая шины.

Эти элементарные силы в нашем случае должны быть равны:

$$I\frac{dh}{h}\frac{da}{a}B\,dl=\rho g\,dh\,da\,dl.$$

После сокращений с учетом $(1)$ получаем для тока:

$$I=a\sqrt{\frac{2\rho gh}{\mu_0}}.$$