Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.3.27.md
+40 −3
| @@ -1,11 +1,48 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.3.27.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.3.27.$ На горизонтальной плоскости лежит тело массы $M$, связанное пружиной жесткости $k$ с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние $l$ от положения равновесия и отпустили. Совершив $n$ колебаний, тело остановилось. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после остановки тела пружина оказалась недеформированной? | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | При колебаниях на брусок действуют две силы – сила упругости, равная $−kx$ ( $x$ – растяжение пружины), и сила трения скольжения, равная $\mu Mg$ . Эта сила остается постоянной по модулю и всегда направлена против скорости движения бруска, что приводит к затуханию колебаний. | ||
| + | Примем начало координат в точке, где пружина недеформированная. Если бы трения не было, то тело бы колебалось с амплитудой $\pm l$, но из-за трения при первом колебании тело не доедет до координаты $-l$ некоторое расстояние. Обозначим его $\delta$. | ||
| + | |||
| + | Запишем для первого колебания в одну сторону теорему об изменении кинетической энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta E=0=A_{тр}+A_{упр}$$ | ||
| + | |||
| + | где $A_{упр}$ - работа силы упругости, $A_{тр}$ - работа силы трения. | ||
| + | |||
| + | При первом колебании работа силы упругости: | ||
| + | |||
| + | $$A_{упр}=\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | А работа силы трения: | ||
| + | |||
| + | $$A_{тр}=-\mu Mg(l+l-\delta)=-\mu Mg(2l-\delta)$$ | ||
| + | |||
| + | Таким образом, для величины $\delta$ получаем квадратное уравнение: | ||
| + | |||
| + | $$-\mu Mg(2l-\delta)+\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Данное уравнение имеет два корня: | ||
| + | |||
| + | $\delta_{1}=2l$ этот корень не имеет физического смысла. Второй корень: | ||
| + | |||
| + | $$\delta_{2}=\delta=\frac{2\mu Mg}{k}$$ | ||
| + | |||
| + | Итак, при каждом колебании в одну сторону, независимо от величины $l$, брусок будет не доезжать одно и то же расстояние $\delta$. Поскольку колебание состоит из движения в одну сторону и обратно, то за 1 полный цикл колебания тело не доедит расстояние $2\delta$. А за $n$ колебаний тело не доедет расстояние $2\delta n$. | ||
| + | |||
| + | По условию задачи после остановки тела пружина оказалась недеформированной, это означает, что в конце суммарное расстояние, которое не доедет тело будет равно $l$: | ||
| + | |||
| + | $$2\delta n=l$$ | ||
| + | $$2\cdot\frac{2\mu Mg}{k}\cdot n=l$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда найдём коэффициент трения: | ||
| + | |||
| + | $$\mu=\frac{kl}{4Mgn}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\mu=\frac{kl}{4Mgn}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,48 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.3.27.$ [Вставьте условие задачи] | $3.3.27.$ На горизонтальной плоскости лежит тело массы $M$, связанное пружиной жесткости $k$ с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние $l$ от положения равновесия и отпустили. Совершив $n$ колебаний, тело остановилось. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после остановки тела пружина оказалась недеформированной? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | При колебаниях на брусок действуют две силы – сила упругости, равная $−kx$ ( $x$ – растяжение пружины), и сила трения скольжения, равная $\mu Mg$ . Эта сила остается постоянной по модулю и всегда направлена против скорости движения бруска, что приводит к затуханию колебаний. | ||
| Примем начало координат в точке, где пружина недеформированная. Если бы трения не было, то тело бы колебалось с амплитудой $\pm l$, но из-за трения при первом колебании тело не доедет до координаты $-l$ некоторое расстояние. Обозначим его $\delta$. | |||
| Запишем для первого колебания в одну сторону теорему об изменении кинетической энергии: | |||
| $$\Delta E=0=A_{тр}+A_{упр}$$ | |||
| где $A_{упр}$ - работа силы упругости, $A_{тр}$ - работа силы трения. | |||
| При первом колебании работа силы упругости: | |||
| $$A_{упр}=\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}$$ | |||
| А работа силы трения: | |||
| $$A_{тр}=-\mu Mg(l+l-\delta)=-\mu Mg(2l-\delta)$$ | |||
| Таким образом, для величины $\delta$ получаем квадратное уравнение: | |||
| $$-\mu Mg(2l-\delta)+\frac{kl^{2}}{2}-\frac{k(l-\delta)^{2}}{2}=0$$ | |||
| Данное уравнение имеет два корня: | |||
| $\delta_{1}=2l$ этот корень не имеет физического смысла. Второй корень: | |||
| $$\delta_{2}=\delta=\frac{2\mu Mg}{k}$$ | |||
| Итак, при каждом колебании в одну сторону, независимо от величины $l$, брусок будет не доезжать одно и то же расстояние $\delta$. Поскольку колебание состоит из движения в одну сторону и обратно, то за 1 полный цикл колебания тело не доедит расстояние $2\delta$. А за $n$ колебаний тело не доедет расстояние $2\delta n$. | |||
| По условию задачи после остановки тела пружина оказалась недеформированной, это означает, что в конце суммарное расстояние, которое не доедет тело будет равно $l$: | |||
| $$2\delta n=l$$ | |||
| $$2\cdot\frac{2\mu Mg}{k}\cdot n=l$$ | |||
| Отсюда найдём коэффициент трения: | |||
| $$\mu=\frac{kl}{4Mgn}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\mu=\frac{kl}{4Mgn}$$ | ||