Решение

После начала действия постоянной силы $F$, тело начинает совершать свободные колебания со смещённым положением равновесия. Выберем начальное положение равновесия за $x=0$, тогда новое положение равновесия:

$$x_{0}=\frac{F}{k}$$

где $k$ - жёсткость пружины.

Уравнение движения с учётом смещения равновесия будет:

$$x(t)=x_{0}(1-\cos\omega t)=\frac{F}{k}(1-\cos\omega t)$$

где $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$, $m$ - масса тела.

Выведение этого уравнения движени из второго закона Ньютона я опускаю, надеясь, что читатель не испытывает с этим затруднений.

Сила натяжения пружины в любой момент:

$$T(t)=kx(t)=F(1-\cos\omega t)$$

Максимальное значение достигается, когда $\cos\omega t=-1$:

$$T_{max}=F(1-(-1))=2F$$

Время, когда сила максимальна:

$$\cos\omega \tau=-1\Longrightarrow \tau=\frac{\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2\omega}=\frac{T}{2}$$

здесь учтено, что $T=\frac{2\pi}{\omega}$