Решение

Рассмотрим рамку в вертикальной плоскости, выбрав в качестве оси вращения закреплённый участок. Заметим, что силы Ампера, действующие на остальные стенки, компенсируют друг друга и не влияют на вращение (т.к. единственное, что в них изменяется --- направление силы тока)

$$M_B = Fa \sin \alpha = Ba^2I\sin\alpha$$

Момент силы тяжести:

$$M_{mg} = mg\cdot \frac{a}{2}\cos\alpha$$

В условии равновесия, сумма моментов внешних сил, с учётом направления, равна нулю $(M_B = M_{mg})$:

$$B \sin\alpha~\cdot aI = \frac{1}{2}mg\cdot \cos\alpha$$

Откуда находим ток в рамке

$$\boxed{I = \frac{mg\cdot \cot\alpha}{2Ba}}$$