Решение

$a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$

Где $dx$ - изменение уровня воды:

$$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$

Из геометрии,

$$r(t) = v_0 t \cdot \tan\alpha$$

По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$

Подставляя предыдущие выражения:

$$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot \tan^2(\alpha )}/s$$

$б)$ Так как пятно представляет собой циллиндр высотой $h$:
$$V(t) = \pi R^2(t)h$$
С другой стороны, поскольку в начальный момент времени радиус, а следовательно и объём, равнялся нулю, то:
$$V(t) = qt$$
Приравнивая выражения получаем:
$$\pi R^2(t)h = qt$$

$$R^2(t) = \frac{qt}{\pi h}$$

$$R(t) = \sqrt{\frac{qt}{\pi h}}$$

Зависимость скорости движения границы пятна от времени $v(t)$ есть производная зависимости радиуса пятна от времени $R(t)$:

$$v(t) = R'(t)$$

$$v(t) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{qt}{\pi h}}}\cdot\frac{q}{\pi h}$$

$$v(t) = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi h}}{\sqrt{q}\cdot\sqrt{t}}\cdot\frac{(\sqrt{q})^2}{(\sqrt{\pi h})^2}$$

Сократив соответсвующие корни, получаем:

$$\boxed{v(t) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}}$$

Альтернативное решение (пункт а)

Пусть $V$ - объём воды в сосуде в данный момент времени. Тогда:
$$V(t) = \frac{1}{3}\pi R^2(t) h(t) \tag{1}$$

Поскольку уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v$:
$$h(t) = v_0t$$

В прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого - образующая конуса, а катеты - высота $h(t)$ и радиус $R(t)$ соответственно:
$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{R(t)}{h(t)}$$

$$R(t) = h(t)\cdot \operatorname{tg}\alpha = v_0t\cdot \operatorname{tg}\alpha$$

Подставив занчение $R(t)$ и $v(t)$ в $(1)$ получаем:
$$V(t) = \frac{1}{3}\pi v_0^3t^3\operatorname{tg}^2\alpha \tag{2}$$

Пусть за небольшой промежуток времени $\Delta t$ объём изменился на величину $\Delta V$. Тогда скорость поступления воды через трубку на протяжении данного промежутка времени $v(t)$ можно считать постоянной:
$$\Delta V = v(t)\Delta t S \tag{3}$$

С другой стороны, из формулы $(2)$ следует:
$$\Delta V = V(t+\Delta t) - V(t)$$
$$\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha[(t+\Delta t)^3-t^3] \tag{4}$$

Выражение в скобках:
$$(t+\Delta t)^3-t^3 =$$
$$= (t + \Delta t - t)((t+\Delta t)^2 + t(t+\Delta t)+t^2)$$
$$= \Delta t(t^2+2t\Delta t+\Delta t^2+t^2+t\Delta t+t^2) =$$
$$= \Delta t(3t^2+3t\Delta t+\Delta t^2)$$

Величиной $\Delta t^2$ по сравнению с другими можно пренебречь:
$$\Delta t(3t^3+3t\Delta t) = \Delta t \cdot 3t(t^2+\Delta t)$$
Величиной $\Delta t$ по сравнению с $t^2$ можно пренебречь:
$$3\Delta t\cdot t\cdot t^2=3t^3\Delta t$$

Возвращаясь к выражению $(4)$:

$$\Delta V = \frac{1}{3}\pi v_0^3\operatorname{tg}^2\alpha \cdot 3t^2\Delta t$$
$$\Delta V = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t$$

Приравняв полученное к выражению $(3)$:
$$v(t)\Delta t S = \pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha\Delta t$$

Наконец, разделив левую и правую часть на $\Delta t \cdot S$, получаем:
$$\boxed{v(t) = \frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}}$$