Решение

По второму закону Ньютона имеем

$$m \omega^{2}r = N + mg \sin\alpha$$

где $N$ — сила нормального давления.

Чтобы не было проскальзывания, должно выполняться условие

$$mg \cos\alpha\leq k(m \omega^{2} r - mg \sin\alpha )$$

откуда

$\omega^{2} \geq \frac{g}{r} ( \cos\alpha + \sin\alpha )$ при $k=1$.

Таким образом,

$$\boxed{\omega_{min} = \sqrt{\sqrt{2} g/r}}$$