1.2.8∗. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние $L$, а затем тормозится с ускорением $a$. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?
Решение
Распишем времена на учатках с постоянной скоростью и торможением:
Найдем минимально возможное не отрицательное $\tau$
$$\tau^2-4\frac{l}{a}=0$$ $$\tau = 4\sqrt{\frac{L}{a}}$$ Подставим $\tau$ и найдем $v_0$ $$v_0=\sqrt{La}$$
Альтернативное решение
Общее время:
$$\tau=\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a}$$ Для нахождения минимума, воспользуемся неравенством Коши: $$\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} \geq 2\sqrt{\frac{L}{a}}$$ Данный метод работает, потому что наша функция больше или равна какому-то числу. Минимум будет при их равенстве: $$\frac{L}{v_0}+\frac{v_0}{a} = 2\sqrt{\frac{L}{a}}$$ Решая уравнение, мы получим: $$v_0 = \sqrt{La}$$