| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$. | | $6.4.8^*.$ Плоский конденсатор изготовлен из двух лент ширины $a$ и длины $l$. Расстояние между лентами $d$. Определите емкость конденсатора, если его свернуть в многовитковый рулон радиуса $R\ll d$. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). | | Пренебрегаем краевыми эффектами. Рулон представляем множеством цилиндрических конденсаторов, пластины которых расположены так близко, что рассуждать будем в приближении плоского конденсатора (это следует из результата решения предыдущей задачи [$6.4.7$](/ru/6.4.7)). |
| | | |
| Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$. | | Разделим систему на слои, предварительно зарядив конденсатор-рулон напряжением $U$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке). | | Как видно, имеем чередование частичных слоев основного слоя шириной $d$ (заштриховано на рисунке) и частичных слоев промежуточного слоя шириной $b$, не дающего соприкасаться основному слою (не заштриховано на рисунке). |
| | | |
| Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$. | | Частичные слои основного слоя представляют собой элементарные емкости $dC_0$ основного слоя емкостью $C_0$. |
| | | |
| Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3]. | | Частичные слои промежуточного слоя тоже представляют собой элементарные емкости $dC_\text{п}$ промежуточного слоя соответствующей емкости $C_\text{п}$. Емкость промежуточного слоя объясняется удобно тем, что в промежутке должно существовать поле(!) [1], потому что пластины, ограничивающие промежуток всегда имею разные потенциалы (вспомнить про $U=Ed$) [2, 3]. |
| | | |
| Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона. | | Далее удобно действовать через энергетическое определение емкости $W=CU^2/2$ и объемную плотность энергии поля [4], но покажем подход, основанный на составлении эквивалентной схемы конденсатора-рулона. |
| | | |
| Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин. | | Мысленно разделим, вторую, третью, четвертую и т. д. частичные пластины (отсчитывая от наружней) на две равные части. Это возможно вследствие отсутствия поля внутри пластин. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения. | | Нутрудно составить схему из этих конденсаторов, показав все соединения. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона | | Все конденсаторы соединены параллельно, тогда емкость конденсатора-рулона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}. | | C=\sum_i dC_{0i}+\sum_i dC_{\text{п}i}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$. | | Сумма $\sum_i dC_{0i}$ равна из геометрии емкости $C_0$ основного слоя, сумма $\sum_i dC_{\text{п}i}$ равна по тем же соображениям емкости промежуточного слоя $C_\text{п}$. |
| | | |
| Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы | | Тогда можно расписать слагаемые предыдущей формулы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1} | | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al}{b}.\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$: | | Заметим, что сумма объемов скрученных тонких параллелепипедов толщин $d$ и $b$ равна объему цилиндра с основанием радиуса $R$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| ald+alb=a\pi R^2, | | ald+alb=a\pi R^2, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда | | откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| b=\frac{\pi R^2-ld}{l}. | | b=\frac{\pi R^2-ld}{l}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Подставим это в формулу $(1)$: | | Подставим это в формулу $(1)$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld} | | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}+\frac{\varepsilon_0al^2}{\pi R^2-ld} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$: | | и вынесем за скобки дробь $\dfrac{\varepsilon_0al}{d}$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении). | | При $ld\to\pi R^2$ получаем $C\to\infty$, это объясняется тем, что емкость промежуточного слоя стремится к бесконечности. При $ld\ll\pi R^2$ получаем $C\approx C_0$, что объясняется тем, что емкость промежуточного слоя много меньше емкости основного слоя (но это не предусматривается задачей и моделью, принятой в решении). |
| | | |
| Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. | | Примечание: следует рассмотреть случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. |
| | | |
| | | |
| #### Приложение | | #### Приложение |
| | | |
| Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно. | | Рассмотрим случай суммирования цилиндрических частичных конденсаторов. Они соединены параллельно. |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. | | [1] Д. А. Александров. Поле заряженной плоскости. «Квант», 1998, №3. |
| | | |
| [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. | | [2] С. М. Козел. Парадоксы плоского конденсатора. «Квант», 1985, №8. |
| | | |
| [3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», | | [3] Е. Ромишевский. Конденсатор в коробке и потенциальность кулоновского поля. «Квант», |
| 1998, №1. | | 1998, №1. |
| | | |
| [4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. | | [4] А. И. Черноуцан. Осторожно: магнитное поле. «Квант», 1999, №3. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). | | C=\frac{\varepsilon_0al}{d}\left(1+\frac{ld}{\pi R^2-ld}\right). |
| $$ | | $$ |
