$а.$ При пересечении двух шаров радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева $−\rho$, справа $\rho$. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля.
$б.$ Используя результаты задачи $6.2.14^* а$ и применяя метод предельного перехода: $l \to 0$, $\rho\to\infty$, $l\rho = const$, найдите распределение заряда на сфере радиуса $R$,которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности $E$. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность заряда?
### Решение
$а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в
задаче [$6.2.6 ~г$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6), равно
$$
\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}
$$
где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке.
Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация.
Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$
Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров:
Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно.
$б.$
Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом.
@@ -31,6 +31,16 @@Решение
Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$.
Поверхностную плотность заряда можно представить как
$$
+
\sigma=\rho\Delta l
+
$$
+
где $\Delta l$ - нормальное расстояние между оболочками двух шаров
+
+
Можно или сразу, считая $\triangle ABC $ почти прямоугольным, сказать что
+
$$
+
\Delta l\approx l\cos\alpha
+
$$
+
либо получить то же самое из теоремы косинусов, используя малость $l$.
+
$$
\sigma=\rho l\cos\alpha=3\varepsilon_0E\cos\alpha
$$
Максимум этой функции, очевидно, равен
$$
\sigma_{max}=3\varepsilon_0E
$$
#### Ответ
$a. ~~\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}$
$б. ~~\sigma=3\varepsilon_0E\cos\alpha$
$~~~~~~\sigma_{max}=3\varepsilon_0E$
ещё строк без изменений 11
### Условие
### Условие
$6.2.14^*$
$6.2.14^*$
$а.$ При пересечении двух шаров радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева $−\rho$, справа $\rho$. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля.
$а.$ При пересечении двух шаров радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева $−\rho$, справа $\rho$. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля.
$б.$ Используя результаты задачи $6.2.14^* а$ и применяя метод предельного перехода: $l \to 0$, $\rho\to\infty$, $l\rho = const$, найдите распределение заряда на сфере радиуса $R$,которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности $E$. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность заряда?
$б.$ Используя результаты задачи $6.2.14^* а$ и применяя метод предельного перехода: $l \to 0$, $\rho\to\infty$, $l\rho = const$, найдите распределение заряда на сфере радиуса $R$,которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности $E$. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность заряда?
### Решение
### Решение
$а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в
$а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в
задаче [$6.2.6 ~г$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6), равно
задаче [$6.2.6 ~г$](https://savchenkosolutions.com/ru/6.2.6), равно
$$
$$
\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}
\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}
$$
$$
где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке.
где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке.
Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация.
Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация.
Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$
Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$
Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров:
Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров:
Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно.
Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно.
$б.$
$б.$
Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом.
Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом.
@@ -31,6 +31,16 @@Решение
Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$.
Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$.
Поверхностную плотность заряда можно представить как
Поверхностную плотность заряда можно представить как
$$
$$
\sigma=\rho\Delta l
$$
где $\Delta l$ - нормальное расстояние между оболочками двух шаров
Можно или сразу, считая $\triangle ABC $ почти прямоугольным, сказать что
$$
\Delta l\approx l\cos\alpha
$$
либо получить то же самое из теоремы косинусов, используя малость $l$.
