Решение задач из Савченко О.Я.

Конькобежцу сообщает центростремительное ускорение сила трения о лед

$\vec{F}_{тр}= \mu \vec{N}$,

где $\vec{N}$ — сила нормальной реакции льда (рис. а).

Так как конькобежец не перемещается в вертикальном направлении, то сила $\vec{N}$ равна по модулю действующей на конькобежца силе тяжести $M \vec{g}$.

Поэтому

$F_{тр}=\mu mg$

$\frac{mv^{2}}{R}=\mu mg$.

Отсюда

$v=\sqrt{\mu gR}$.

Делая поворот, конькобежец проходит расстояние

$S= \pi R$

за время

$t=\frac{s}{v}=\pi \sqrt{\frac{R}{\mu g}}\\;(1)$

Чем больше радиус окружности, по которой движется конькобежец, тем больше это время.

Хотя с увеличением радиуса поворота растет максимальная скорость конькобежца, еще больше увеличивается проходимое им расстояние: в то время как скорость пропорциональна $\sqrt{R}$, пройденное расстояние пропорционально $R$.

Именно поэтому конькобежец и старается пройти поворот как можно ближе к внутренней бровке.

Теперь рассмотрим движение велосипедиста на наклонном треке. Ему центростремительное ускорение сообщает равнодействующая силы трении $\bar{F}_{тр}$ и силы $\vec{N}$ реакции опоры (рис. б).

Спроектировав эти силы на ось $X$, получаем:

$F_{тр} \cos \alpha + N \sin \alpha = \frac{mv^{2}}{R}\\;(2)$

Так как в вертикальном направлении велосипедист не перемещается, то сумма проекций на ось $Y$ всех сил, действующих на велосипедиста, равна нулю:

$N \cos \alpha – F_{тр} \sin \alpha – mg = 0\\;(3)$

Учитывая, что $F_{тр}= \mu N$ найдем из уравнений $(2)$ и $(3)$ максимальную скорость, с которой может двигаться велосипедист:

$v=\sqrt{gr \frac{\mu + tg \\: \alpha}{1- \mu tg \\: \alpha}}$

Эта скорость зависит не только от радиуса окружности, и от угла наклона трека к горизонту. При том профиле трека, который показан на рисунке б, угол наклона не меняется.

Если $\alpha = \alpha_{0} = arctg \\: (1/ \mu)$, то максимальная скорость движения велосипедиста принимает бесконечное значение. Это значит, что скорость велосипедиста может быть любой.

Время, необходимое велосипедисту для того, чтобы пройти поворот радиуса $R$, определяется так:

$t= \frac{\pi R}{v}= \pi \sqrt{\frac{R}{g} \frac{1- \mu tg \\: \alpha}{\mu + tg \\: \alpha}}$

$t = \pi \sqrt{\frac{R}{g} tg \\: (\alpha_{0}-\alpha)}$

Если велосипедист проходит поворот дальше от бровки, то меняется не только радиус поворота, но и угол $α$ наклона трека к горизонту. Благодаря этому уменьшается время прохождения поворота.