| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| \$2.3.44.\$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы \$m\$, который затем без толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно \$x_0\$. Какова жесткость этого шнура? | | \$2.3.44.\$ Нерастянутый резиновый шнур длины $2l$ своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы \$m\$, который затем без толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз, равно \$x_0\$. Какова жесткость этого шнура? |
| | | |
|  | |  |
| \$\$ | | \$\$ |
| | | |
| Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия груза при максимальном опускании равна потенциальной энергии упругости обеих половин шнура: | | Применим закон сохранения энергии: потенциальная энергия груза при максимальном опускании равна потенциальной энергии упругости обеих половин шнура: |
| | | |
| \$\$ | | \$\$ |
| mgx_0=2\\frac{k'\\Delta l^2}{2} | | mgx_0=2\\frac{k'\\Delta l^2}{2} |
| \$\$ | | \$\$ |
| | | |
| Подставляя \\( k' = 2k \\), получаем: | | Подставляя \\( k' = 2k \\), получаем: |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| mgx_0 = 2k \\Delta l^2 \\quad \\Rightarrow \\quad k = \\frac{mgx_0}{2\\Delta l^2} | | mgx_0 = 2k \\Delta l^2 \\quad \\Rightarrow \\quad k = \\frac{mgx_0}{2\\Delta l^2} |
| \\] | | \\] |
| | | |
| | | |
| Теперь выразим \\( \\Delta l \\) — удлинение каждой половины шнура — через \\( x_0 \\) и \\( l \\). Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза — натянутый шнур \\( l + \\Delta l \\), катеты — \\( l \\) и \\( x_0 \\): | | Теперь выразим \\( \\Delta l \\) — удлинение каждой половины шнура — через \\( x_0 \\) и \\( l \\). Рассмотрим прямоугольный треугольник: гипотенуза — натянутый шнур \\( l + \\Delta l \\), катеты — \\( l \\) и \\( x_0 \\): |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| (l + \\Delta l)^2 = l^2 + x_0^2 | | (l + \\Delta l)^2 = l^2 + x_0^2 |
| \\] | | \\] |
| | | |
| Раскроем скобки: | | Раскроем скобки: |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| \\Delta l^2 + 2l \\Delta l = x_0^2 | | \\Delta l^2 + 2l \\Delta l = x_0^2 |
| \\] | | \\] |
| | | |
| Это квадратное уравнение относительно \\( \\Delta l \\): | | Это квадратное уравнение относительно \\( \\Delta l \\): |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| \\Delta l^2 + 2l \\Delta l - x_0^2 = 0 | | \\Delta l^2 + 2l \\Delta l - x_0^2 = 0 |
| \\] | | \\] |
| | | |
| Решим его: | | Решим его: |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| \\Delta l = -l \\pm \\sqrt{l^2 + x_0^2} | | \\Delta l = -l \\pm \\sqrt{l^2 + x_0^2} |
| \\] | | \\] |
| | | |
| Стоит учесть две вещи: | | Стоит учесть две вещи: |
| | | |
| 1. Резиновый шнур не сжимается. | | 1. Резиновый шнур не сжимается. |
| 2. Расстояние не может быть отрицательным. | | 2. Расстояние не может быть отрицательным. |
| | | |
| Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом: | | Из этих двух определений, мы приходим к выводу, что правильным ответом явялется ответ со знаком плюс перед дискриминантом: |
| | | |
| \$\$ | | \$\$ |
| \\Delta l=\\sqrt{l^2+x_0^2}-l | | \\Delta l=\\sqrt{l^2+x_0^2}-l |
| \$\$ | | \$\$ |
| | | |
| Подставим это в выражение жесткости: | | Подставим это в выражение жесткости: |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| k = \\frac{mgx_0}{2\\left( \\sqrt{l^2 + x_0^2} - l \\right)^2} | | k = \\frac{mgx_0}{2\\left( \\sqrt{l^2 + x_0^2} - l \\right)^2} |
| \\] | | \\] |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| \\[ | | \\[ |
| \\boxed{k = \\frac{mgx_0}{2\\left( \\sqrt{l^2 + x_0^2} - l \\right)^2}} | | \\boxed{k = \\frac{mgx_0}{2\\left( \\sqrt{l^2 + x_0^2} - l \\right)^2}} |
| \\] | | \\] |
| | | |
| | | |
