Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

Temirlan правка от
Посмотреть решение История
правка #17855 предыдущая #17853 ← раньше позже →
ru/3.3.26.md +50 −3
@@ -1,13 +1,60 @@
### Условие
$3.3.26.$ [Вставьте условие задачи]
−### Решение
+#### Решение
+\subsubsection*{Уравнение движения и его решение}
−![К задаче $3.3.26$ |4032x3024, 31%](../../img/3.3.26/scan-0.png)
+Второй закон Ньютона для груза:
+\[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \]
+Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение:
+\[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \]
+Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота:
+\[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]
+Общий вид решения для $\varphi$:
+\[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \]
+
+Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
+\[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \]
+
+Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$:
+\[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \]
+
+\subsubsection*{Начальные условия}
+
+Известно, что начальная скорость равна нулю:
+\[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \]
+
+Также начальная координата равна нулю:
+\[ x(0) = 0 \]
+
+Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты:
+\[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \]
+
+\subsubsection*{Итоговые уравнения}
+
+Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение:
+\[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \]
+
+Выразим координату $x$:
+\[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \]
+
+Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную):
+\[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \]
+
+Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$:
+\[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \]
+
+Амплитуда колебаний $a$:
+\[ a = \frac{\mu mg}{k} \]
+
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+\[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \]
+
+\[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \]