Правка раздела «Решение»
ru/3.3.26.md
+1 −3
| @@ -1,9 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $3.3.26.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| #### Решение | |||
| − | \subsubsection*{Уравнение движения и его решение} | ||
| Второй закон Ньютона для груза: | |||
| \[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \] | |||
| Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение: | |||
| \[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \] | |||
| Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота: | |||
| \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] | |||
| Общий вид решения для $\varphi$: | |||
| \[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \] | |||
| Возвращаясь к переменной $x$, получаем: | |||
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \] | |||
| @@ -23,7 +22,6 @@Решение | |||
| Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$: | |||
| \[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \] | |||
| − | \subsubsection*{Начальные условия} | ||
| Известно, что начальная скорость равна нулю: | |||
| \[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] | |||
| Также начальная координата равна нулю: | |||
| \[ x(0) = 0 \] | |||
| @@ -34,7 +32,7 @@Решение | |||
| Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты: | |||
| \[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \] | |||
| − | \subsubsection*{Итоговые уравнения} | ||
| + | |||
| Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение: | |||
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \] | |||
| Выразим координату $x$: | |||
| \[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \] | |||
| Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную): | |||
| \[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \] | |||
| Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$: | |||
| \[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \] | |||
| Амплитуда колебаний $a$: | |||
| \[ a = \frac{\mu mg}{k} \] | |||
| #### Ответ | |||
| \[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \] | |||
| \[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \] | |||
| ещё строк без изменений 20 | |||
| @@ -1,9 +1,8 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.3.26.$ [Вставьте условие задачи] | $3.3.26.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| #### Решение | #### Решение | ||
| \subsubsection*{Уравнение движения и его решение} | |||
| Второй закон Ньютона для груза: | Второй закон Ньютона для груза: | ||
| \[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \] | \[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \] | ||
| Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение: | Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение: | ||
| \[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \] | \[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \] | ||
| Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота: | Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота: | ||
| \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] | \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] | ||
| Общий вид решения для $\varphi$: | Общий вид решения для $\varphi$: | ||
| \[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \] | \[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \] | ||
| Возвращаясь к переменной $x$, получаем: | Возвращаясь к переменной $x$, получаем: | ||
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \] | \[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \] | ||
| @@ -23,7 +22,6 @@Решение | |||
| Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$: | Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$: | ||
| \[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \] | \[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \] | ||
| \subsubsection*{Начальные условия} | |||
| Известно, что начальная скорость равна нулю: | Известно, что начальная скорость равна нулю: | ||
| \[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] | \[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] | ||
| Также начальная координата равна нулю: | Также начальная координата равна нулю: | ||
| \[ x(0) = 0 \] | \[ x(0) = 0 \] | ||
| @@ -34,7 +32,7 @@Решение | |||
| Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты: | Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты: | ||
| \[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \] | \[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \] | ||
| \subsubsection*{Итоговые уравнения} | |||
| Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение: | Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение: | ||
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \] | \[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \] | ||
| Выразим координату $x$: | Выразим координату $x$: | ||
| \[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \] | \[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \] | ||
| Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную): | Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную): | ||
| \[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \] | \[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \] | ||
| Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$: | Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$: | ||
| \[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \] | \[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \] | ||
| Амплитуда колебаний $a$: | Амплитуда колебаний $a$: | ||
| \[ a = \frac{\mu mg}{k} \] | \[ a = \frac{\mu mg}{k} \] | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| \[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \] | \[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \] | ||
| \[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \] | \[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \] | ||
| ещё строк без изменений 20 | |||