| Второй закон Ньютона для груза: | | Второй закон Ньютона для груза: |
| \[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \] | | \[ m\ddot{x} = -kx + \mu mg \] |
| | | |
| Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение: | | Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение: |
| \[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \] | | \[ \ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g \] |
| | | |
| Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота: | | Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота: |
| \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] | | \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] |
| | | |
| Общий вид решения для $\varphi$: | | Общий вид решения для $\varphi$: |
| \[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \] | | \[ \varphi = A\cos(\omega t + \alpha) \] |
| | | |
| Возвращаясь к переменной $x$, получаем: | | Возвращаясь к переменной $x$, получаем: |
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \] | | \[ \frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha) \] |
| | | |
| Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$: | | Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$: |
| \[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \] | | \[ \frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha) \] |
| | | |
| | | |
| Известно, что начальная скорость равна нулю: | | Известно, что начальная скорость равна нулю: |
| \[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] | | \[ \dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0 \] |
| | | |
| Также начальная координата равна нулю: | | Также начальная координата равна нулю: |
| \[ x(0) = 0 \] | | \[ x(0) = 0 \] |
| | | |
| Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты: | | Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты: |
| \[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \] | | \[ \frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g \] |
| | | |
| | | |
| | | |
| Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение: | | Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение: |
| \[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \] | | \[ \frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t) \] |
| | | |
| Выразим координату $x$: | | Выразим координату $x$: |
| \[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \] | | \[ x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t) \] |
| | | |
| Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную): | | Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную): |
| \[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \] | | \[ \dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t) \] |
| | | |
| Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$: | | Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$: |
| \[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \] | | \[ v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}} \] |
| | | |
| Амплитуда колебаний $a$: | | Амплитуда колебаний $a$: |
| \[ a = \frac{\mu mg}{k} \] | | \[ a = \frac{\mu mg}{k} \] |
| | | |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| \[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \] | | \[ \boxed{v = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}} \] |
| | | |
| \[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \] | | \[ \boxed{a = \frac{\mu mg}{k}} \] |
