| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.2.7.$ Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов $V_{0}$, летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обкладках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен $V$ ? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками $d$. | | $7.2.7.$ Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциалов $V_{0}$, летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обкладках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен $V$ ? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками $d$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Перед прочтением решения данной задачи, я рекомендую ознакомиться с решением задачи $7.2.6.$, поскольку я буду использовать результат той задачи при решении. | | Перед прочтением решения данной задачи, я рекомендую ознакомиться с решением задачи $7.2.6.$, поскольку я буду использовать результат той задачи при решении. |
| | | |
| В решении я предполагаю параксиальное приближение - протоны распространяются под очень малыми углами к оси симметрии системы. | | В решении я предполагаю параксиальное приближение - протоны распространяются под очень малыми углами к оси симметрии системы. |
| | | |
| Отверстие в обкладке конденсатора, разделяющее области с разной напряженностью поля $E_{1}$ и $E_{2}$, действует как электростатическая линза. Фокусное расстояние такой линзы найдено в задаче $7.2.6.$: | | Отверстие в обкладке конденсатора, разделяющее области с разной напряженностью поля $E_{1}$ и $E_{2}$, действует как электростатическая линза. Фокусное расстояние такой линзы найдено в задаче $7.2.6.$: |
| | | |
| $$f=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}}$$ | | $$f=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}}$$ |
| | | |
| где $U$ - потенциал эквивалентный кинетической энергии протона при приближении к отверстию; $E_{1}$ - напряжённость поля до отверстия; $E_{2}$ - напряжённость поля после отверстия. | | где $U$ - потенциал эквивалентный кинетической энергии протона при приближении к отверстию; $E_{1}$ - напряжённость поля до отверстия; $E_{2}$ - напряжённость поля после отверстия. |
| | | |
| У нас два отверстия, а значит две линзы. Вне конденсатора поле отсутствует, внутри конденсатора $E=\frac{V}{d}$. Кинетическая энергия протонов при приближении к первому отверстию определяется ускоряющей разностью потенциалов $V_{0}$. Тогда фокусное расстояние первой линзы (отверстия): | | У нас два отверстия, а значит две линзы. Вне конденсатора поле отсутствует, внутри конденсатора $E=\frac{V}{d}$. Кинетическая энергия протонов при приближении к первому отверстию определяется ускоряющей разностью потенциалов $V_{0}$. Тогда фокусное расстояние первой линзы (отверстия): |
| | | |
| $$f_{1}=\frac{4V_{0}}{\frac{V}{d}-0}=\frac{4dV_{0}}{V} \tag{1}$$ | | $$f_{1}=\frac{4V_{0}}{\frac{V}{d}-0}=\frac{4dV_{0}}{V} \tag{1}$$ |
| | | |
| Поскольку $f_{1}\gt 0$ - это собирающая линза, то есть она "прижимает" пучок протонов к оси, радиус пучка уменьшается. | | Поскольку $f_{1}\gt 0$ - это собирающая линза, то есть она "прижимает" пучок протонов к оси, радиус пучка уменьшается. |
| | | |
| Для второй линзы (отверстия) кинетическая энергия протонов будет определяться разностью потенциалов $V_{0}+V$, так как протоны ускоряются полем внутри конденсатора. Тогда фокусное расстояние второй линзы (отверстия): | | Для второй линзы (отверстия) кинетическая энергия протонов будет определяться разностью потенциалов $V_{0}+V$, так как протоны ускоряются полем внутри конденсатора. Тогда фокусное расстояние второй линзы (отверстия): |
| | | |
| $$f_{2}=\frac{4(V_{0}+V)}{0-\frac{V}{d}}=-\frac{4d(V_{0}+V)}{V} \tag{2}$$ | | $$f_{2}=\frac{4(V_{0}+V)}{0-\frac{V}{d}}=-\frac{4d(V_{0}+V)}{V} \tag{2}$$ |
| | | |
| Поскольку $f_{2}\lt 0$ - это рассеивающая линза, то есть она увеличивает радиус пучка протонов. | | Поскольку $f_{2}\lt 0$ - это рассеивающая линза, то есть она увеличивает радиус пучка протонов. |
| | | |
| Так как у нас первой стоит собирающая линза, то фокусировка пучка возможна в двух разных областях системы. Первый - внутри конденсатора, то есть на расстоянии $L\lt d$ от первой обкладки. Второй - вне конденсатора. Отмечу сразу, что пучок сфокусируется обязательно, поскольку оптическая сила первой линзы больше, чем второй: | | Так как у нас первой стоит собирающая линза, то фокусировка пучка возможна в двух разных областях системы. Первый - внутри конденсатора, то есть на расстоянии $L\lt d$ от первой обкладки. Второй - вне конденсатора. Отмечу сразу, что пучок сфокусируется обязательно, поскольку оптическая сила первой линзы больше, чем второй: |
| | | |
| $$\left| \frac{1}{f_{1}} \right|\gt \left| \frac{1}{f_{2}} \right|$$ | | $$\left| \frac{1}{f_{1}} \right|\gt \left| \frac{1}{f_{2}} \right|$$ |
| | | |
| Рассмотрим первый $\textbf{случай фокусировки внутри конденсатора}$. | | Рассмотрим первый $\textbf{случай фокусировки внутри конденсатора}$. |
| | | |
| Пусть $r_{0}$ - начальный радиус пучка. Протон, проходя через область неоднородного поля вблизи отверстия, получает радиальный импульс. Обозначим приобретаемую радиальную скорость протона $\upsilon_{r0}$. Так как ширина отверстия очень мала, то изменения в ней скорости протонов вдоль оси симметрии при прохождении отверстия нет. Эта скорость равна: | | Пусть $r_{0}$ - начальный радиус пучка. Протон, проходя через область неоднородного поля вблизи отверстия, получает радиальный импульс. Обозначим приобретаемую радиальную скорость протона $\upsilon_{r0}$. Так как ширина отверстия очень мала, то изменения в ней скорости протонов вдоль оси симметрии при прохождении отверстия нет. Эта скорость равна: |
| | | |
| $$\upsilon_{x0}=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \tag{3}$$ | | $$\upsilon_{x0}=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \tag{3}$$ |
| | | |
| С одной стороны тангенс угла отклонения пучка равен: | | С одной стороны тангенс угла отклонения пучка равен: |
| | | |
| $$\tan\alpha=\frac{\upsilon_{r0}}{\upsilon_{x0}}$$ | | $$\tan\alpha=\frac{\upsilon_{r0}}{\upsilon_{x0}}$$ |
| | | |
| А с другой стороны, по определению: | | А с другой стороны, по определению: |
| | | |
| $$\tan\alpha=\frac{r_{0}}{f_{1}}$$ | | $$\tan\alpha=\frac{r_{0}}{f_{1}}$$ |
| | | |
| Тогда: | | Тогда: |
| | | |
| $$\upsilon_{r0}=\upsilon_{x0}\cdot\frac{r_{0}}{f_{1}} \tag{4}$$ | | $$\upsilon_{r0}=\upsilon_{x0}\cdot\frac{r_{0}}{f_{1}} \tag{4}$$ |
| | | |
| Внутри конденсатора поле действует только вдоль оси симметрии, поэтому радиальная скорость сохраняется $\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}=const$. | | Внутри конденсатора поле действует только вдоль оси симметрии, поэтому радиальная скорость сохраняется $\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}=const$. |
| | | |
| Зависимость радиуса пучка от времени будет: | | Зависимость радиуса пучка от времени будет: |
| | | |
| $$r(t)=r_{0}-\upsilon_{r0}t=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t \right)$$ | | $$r(t)=r_{0}-\upsilon_{r0}t=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t \right)$$ |
| | | |
| Время $\tau$, когда радиус пучка станет равен 0: | | Время $\tau$, когда радиус пучка станет равен 0: |
| | | |
| $$r(\tau)=0=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}\tau \right)\Longrightarrow \tau=\frac{f_{1}}{\upsilon_{x0}}$$ | | $$r(\tau)=0=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}\tau \right)\Longrightarrow \tau=\frac{f_{1}}{\upsilon_{x0}}$$ |
| | | |
| Подставим значения из (1) и (3): | | Подставим значения из (1) и (3): |
| | | |
| $$\tau=\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \tag{5}$$ | | $$\tau=\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \tag{5}$$ |
| | | |
| Вдоль оси симметрии на протоны действует электрическое поле с силой: | | Вдоль оси симметрии на протоны действует электрическое поле с силой: |
| | | |
| $$F=eE=\frac{eV}{d}$$ | | $$F=eE=\frac{eV}{d}$$ |
| | | |
| Под действием этой силы протоны получают ускорение: | | Под действием этой силы протоны получают ускорение: |
| | | |
| $$a=\frac{F}{m}=\frac{eV}{md} \tag{6}$$ | | $$a=\frac{F}{m}=\frac{eV}{md} \tag{6}$$ |
| | | |
| Координата $x(t)$ при равноускоренном движении: | | Координата $x(t)$ при равноускоренном движении: |
| | | |
| $$x(t)=\upsilon_{x0}t+\frac{at^{2}}{2}$$ | | $$x(t)=\upsilon_{x0}t+\frac{at^{2}}{2}$$ |
| | | |
| Протоны сфокусируются на расстоянии $L=x(\tau)$: | | Протоны сфокусируются на расстоянии $L=x(\tau)$: |
| | | |
| $$L=\upsilon_{x0}\tau+\frac{a\tau^{2}}{2}$$ | | $$L=\upsilon_{x0}\tau+\frac{a\tau^{2}}{2}$$ |
| | | |
| Подставим сюда формулы (3), (5) и (6): | | Подставим сюда формулы (3), (5) и (6): |
| | | |
| $$L=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}}+\frac{1}{2}\frac{eV}{md}\left( \frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \right)^{2}=\frac{8dV_{0}}{V}$$ | | $$L=\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}}+\frac{1}{2}\frac{eV}{md}\left( \frac{4dV_{0}}{V}\sqrt{\frac{m}{2eV_{0}}} \right)^{2}=\frac{8dV_{0}}{V}$$ |
| | | |
| Поскольку $L\lt d$, то должно быть: $V\gt 8V_{0}$. | | Поскольку $L\lt d$, то должно быть: $V\gt 8V_{0}$. |
| | | |
| При $V=8V_{0}$ пучок сфокусируется прямо во втором отверстии: $L=d$. | | При $V=8V_{0}$ пучок сфокусируется прямо во втором отверстии: $L=d$. |
| | | |
| Теперь рассмотри второй случай $\textbf{фокусировка вне пластин (учёт обоих отверстий)}$. | | Теперь рассмотри второй случай $\textbf{фокусировка вне пластин (учёт обоих отверстий)}$. |
| | | |
| Согласно закону сохранения энергии работа поля идёт на приращение кинетической энергии протонов, тогда скорость протонов вдоль оси симметрии, которая будет при достижении ими второго отверстия: | | Согласно закону сохранения энергии работа поля идёт на приращение кинетической энергии протонов, тогда скорость протонов вдоль оси симметрии, которая будет при достижении ими второго отверстия: |
| | | |
| $$\upsilon_{xd}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}} \tag{7}$$ | | $$\upsilon_{xd}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}} \tag{7}$$ |
| | | |
| Время полёта протонов от первой обкладки до второй: | | Время полёта протонов от первой обкладки до второй: |
| | | |
| $$t_{п}=\frac{\upsilon_{xd}-\upsilon_{x0}}{a}$$ | | $$t_{п}=\frac{\upsilon_{xd}-\upsilon_{x0}}{a}$$ |
| | | |
| Подставим сюда (3), (6) и (7): | | Подставим сюда (3), (6) и (7): |
| | | |
| $$t_{п}=\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \tag{8}$$ | | $$t_{п}=\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \tag{8}$$ |
| | | |
| Радиус пучка протонов перед прохождением второго отверстия: | | Радиус пучка протонов перед прохождением второго отверстия: |
| | | |
| $$r_{d}=r_{0}-\upsilon_{r0}t_{п}=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t_{п} \right)$$ | | $$r_{d}=r_{0}-\upsilon_{r0}t_{п}=r_{0}\left( 1-\frac{\upsilon_{x0}}{f_{1}}t_{п} \right)$$ |
| | | |
| Подставим сюда (1), (3) и (8): | | Подставим сюда (1), (3) и (8): |
| | | |
| $$r_{d}=r_{0}\left[ 1-\frac{V}{4dV_{0}}\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \right]$$ | | $$r_{d}=r_{0}\left[ 1-\frac{V}{4dV_{0}}\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}}\frac{md}{eV}\left( \sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}-\sqrt{\frac{2eV_{0}}{m}} \right) \right]$$ |
| | | |
| Все алгебраические преобразования я покажу в виде фотографии черновика, когда решал эту задачу. Сейчас запишу только результат преобразований: | | Все алгебраические преобразования я покажу в виде фотографии черновика, когда решал эту задачу. Сейчас запишу только результат преобразований: |
| | | |
| $$r_{d}=\frac{r_{0}}{2}\left( 3-\sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} \right) \tag{9}$$ | | $$r_{d}=\frac{r_{0}}{2}\left( 3-\sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} \right) \tag{9}$$ |
| | | |
| Проходя сквозь второе отверстие, протоны в радиальном направлении получают дополнительную скорость. По аналогии с формулой (4): | | Проходя сквозь второе отверстие, протоны в радиальном направлении получают дополнительную скорость. По аналогии с формулой (4): |
| | | |
| $$\upsilon_{r2}=\upsilon_{xd}\frac{r_{d}}{f_{2}}$$ | | $$\upsilon_{r2}=\upsilon_{xd}\frac{r_{d}}{f_{2}}$$ |
| | | |
| Подставим сюда (7), (2) и (9): | | Подставим сюда (7), (2) и (9): |
| | | |
| $$\upsilon_{r2}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}\frac{V}{4d(V_{0}+V)}\frac{r_{0}}{2}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} -3\right)$$ | | $$\upsilon_{r2}=\sqrt{\frac{2e(V_{0}+V)}{m}}\frac{V}{4d(V_{0}+V)}\frac{r_{0}}{2}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}} -3\right)$$ |
| | | |
| Результирующая радиальная скорость после пролёта второй линзы: | | Результирующая радиальная скорость после пролёта второй линзы: |
| | | |
| $$\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}+\upsilon_{r2}=\upsilon_{x0}\frac{r_{0}}{f_{1}}+\upsilon_{r2}$$ | | $$\upsilon_{r}=\upsilon_{r0}+\upsilon_{r2}=\upsilon_{x0}\frac{r_{0}}{f_{1}}+\upsilon_{r2}$$ |
| | | |
| После подстановки ранее найденных значений, получим: | | После подстановки ранее найденных значений, получим: |
| | | |
| $$\upsilon_{r}=\sqrt{\frac{2e}{m}}\frac{r_{0}}{4d}\left[ \frac{V}{\sqrt{V_{0}}}+\frac{V}{2\sqrt{V_{0}+V}}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}}-3 \right) \right]$$ | | $$\upsilon_{r}=\sqrt{\frac{2e}{m}}\frac{r_{0}}{4d}\left[ \frac{V}{\sqrt{V_{0}}}+\frac{V}{2\sqrt{V_{0}+V}}\left( \sqrt{1+\frac{V}{V_{0}}}-3 \right) \right]$$ |
| | | |
| После пролёта второго отверстия протоны двигаются по инерции. По аналогии с формулой (4): | | После пролёта второго отверстия протоны двигаются по инерции. По аналогии с формулой (4): |
| | | |
| $$\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{xd}}=\frac{r_{d}}{L}\Longrightarrow L=r_{d}\frac{\upsilon_{xd}}{\upsilon_{r}}$$ | | $$\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{xd}}=\frac{r_{d}}{L}\Longrightarrow L=r_{d}\frac{\upsilon_{xd}}{\upsilon_{r}}$$ |
| | | |
| После подстановки всех формул и алгебраических преобразований получим: | | После подстановки всех формул и алгебраических преобразований получим: |
| | | |
| $$L=\frac{4}{3}d\left( 1+\frac{V_{0}}{V} \right)\left( 2\frac{V_{0}}{V}+2\sqrt{\frac{V_{0}}{V}\left( \frac{V_{0}}{V}+1 \right)}-1 \right)$$ | | $$L=\frac{4}{3}d\left( 1+\frac{V_{0}}{V} \right)\left( 2\frac{V_{0}}{V}+2\sqrt{\frac{V_{0}}{V}\left( \frac{V_{0}}{V}+1 \right)}-1 \right)$$ |
