| @@ -1,21 +1,74 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $14.5.22.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $14.5.22.$ Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энергией $\mathcal{E} = 10 \ эВ$ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией $\mathcal{E}_e = 10^{10} \ эВ$? |
| | | |
| | | ### Решение |
| | + | Решить задачу можно и просто записав ЗСИ и ЗСЭ, но я хочу показать другой способ. Можно заметить, что если перейти в систему отсчета, где электроны в пучке покоятся, мы будем наблюдать [эффект Комптона](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0). Изменение энергии при рассеянии фотона в этом случае можно получить из достаточно известной формулы |
| | + | $$ |
| | + | \frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_e c^2}(1-\cos\alpha) |
| | + | $$ |
| | + | где - угол рассеяния фотона. Эта формула выведена в задаче [$14.5.23$](https://savchenkosolutions.com/ru/14.5.23). |
| | | |
| | − | Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энергией $E = 10 \ эВ$ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией $Ee = 10^{10} \ эВ$? |
| | + | В итоге, нам надо аккуратно перейти в такую систему, рассчитать энергию и вернуться назад в лабораторную. |
| | | |
| | − | Для упрощения выкладок перейдём в такую систему единиц, что в ней $c=1$. |
| | + | Для удобства выкладок перейдём в такую систему единиц, что в ней $c=1$. Это позволит сократить запись, причем удобно, что импульс фотона оказывается равен его энергии. Договоримся, что в лабораторной системе (ЛС) энергии будем обозначать буквой $\mathcal{E}$, в системе покоя электрона (СП) - $E$. |
| | | |
| | + | Итак, гамма фактор для электрона в ЛС, очевидно, |
| | | $$ |
| | + | \gamma=(1-v^2)^{-\frac{1}{2}}=\frac{ \mathcal{E}_e }{m_e}, \ \to \ v=\sqrt{1-\left(\frac{m_e}{ \mathcal{E}_e }\right)^2}=\frac{\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{\mathcal{E}_e} |
| | + | $$ |
| | + | Именно с этой скоростью движется СП относительно ЛС. Найдём энергию фотона в СП с помощью формулы для релятивистского эффекта Доплера: |
| | | |
| | | $$ |
| | + | E=\mathcal{E}\gamma(1+v) |
| | + | $$ |
| | | |
| | + | Используя формулу Комптона, получим изменение энергии при столкновении: |
| | | $$ |
| | − | \mathcal{E}_{max}=\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}+\sqrt{\mathcal{E}_e^2+(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}} |
| | + | E'=\frac{Em_e}{E(1-\cos\alpha)+m_e} |
| | | $$ |
| | | |
| | + | |
| | + | Максимум энергии в ЛС достигается, когда в СП фотон рассеивается назад ($\alpha=\pi$), потому что при обратном преобразовании в ЛС фотон, рассеянный назад в СП, после преобразования получает максимальный доплеровский сдвиг вперёд (в направлении движения электрона) |
| | + | $$ |
| | + | E'=\frac{Em_e}{2E+m_e} |
| | + | $$ |
| | + | Обратный переход (учитывая, что направление движения фотона изменилось) |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'=E'\gamma(1+v) |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\frac{Em_e}{2E+m_e}\gamma(1+v)=\frac{\mathcal{E}\gamma^2(1+v)^2m_e}{2\mathcal{E}\gamma(1+v)+m_e} |
| | + | $$ |
| | + | Домножим числитель и знаменатель на $(1-v)$ |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)}{2\mathcal{E}\gamma(1-v^2)+m_e(1-v)} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\frac{\mathcal{E}m_e(1+v)\gamma}{2\mathcal{E}+m_e\gamma(1-v)} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e(1+v)}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e(1-v)} |
| | + | $$ |
| | + | Наконец подставим скорость |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-m_e^2}} |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | Теперь вернемся к стандартной системе единиц: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}'_{max} =\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}} |
| | + | $$ |
| | + | Не забудем про численное значение (Савченко забыл...) |
| | + | $$ |
| | + | \mathcal{E}_{max}\approx 6\cdot10^9 \ эВ |
| | + | $$ |
| | + | $No:$ У Савченко, видимо, в ответе небольшая опечаткa. |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{ |
| | + | \mathcal{E}_{max}=\mathcal{E}\frac{\mathcal{E}_e+\sqrt{\mathcal{E}_e^2+(m_e c^2)^2}}{2\mathcal{E}+\mathcal{E}_e-\sqrt{\mathcal{E}_e^2-(m_e c^2)^2}}\approx6\cdot10^9 \ эВ |
| | + | } |
| | + | $$ |
