Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.5.11.md
+17 −13
| @@ -1,12 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.5.11 | ||
| + | $14.5.11$ | ||
| + | $\pi^0$-мезон распадается на два $\gamma$-кванта: $\pi^0 → \gamma + \gamma$. Найдите кинетическую энергию $\pi^0$-мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует $\gamma$-квант с энергией $E_1=270 \ МэВ$. | ||
| ### Решение | |||
| − | $14.5.11$ $\pi^0$-Мезон распадается на два $\gamma$-кванта: $\pi^0 → \gamma + \gamma$. Найдите кинетическую энергию $\pi^0$-мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует $\gamma$-квант с энергией $E_1=270 \ МэВ$. | ||
| − | |||
| $\textbf{1 способ}$ | |||
| + | |||
| Вспомним, что для фотона импульс равен $p=\frac{E}{c}$ | |||
| Счётчик зафиксировал только один фотон, значит, второй полетел в строго противоположную сторону (если бы он имел компоненту, не параллельную направлению движения мезона, её нечем было бы скомпенсировать), причем должен выполняться ЗСИ: | |||
| $$ | |||
| p=\frac{Ev}{c^2}=\frac{1}{c}(E_1-E_2) | |||
| $$ | |||
| ЗСЭ: | |||
| $$ | |||
| E=m_{\pi^0}c^2+\mathcal{E}_K=E_1+E_2 | |||
| $$ | |||
| решим эту систему: | |||
| $$ | |||
| E_2=E-E_1 | |||
| $$ | |||
| @@ -24,7 +24,7 @@Решение | |||
| $$ | |||
| Ev=c(2E_1-E) | |||
| $$ | |||
| − | $\beta=v/c$ | ||
| + | Обозначим $\beta=v/c$, запишем определения энергий и аккуратно решим уравнения: | ||
| $$ | |||
| \frac{m_{\pi^0}c^2(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}}=2E_1 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{2E_1}{m_{\pi^0}c^2}=s | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \beta=\frac{s^2-1}{s^2+1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{1}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}-1\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s^2+1}{2s}-1\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2s}-1\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{E_1}{m_{\pi^0}c^2}+\frac{m_{\pi^0}c^2}{4E_1}-1\right) | |||
| @@ -48,31 +48,35 @@Решение | |||
| $$ | |||
| Или компактнее | |||
| $$ | |||
| − | \mathcal{E}_K=\frac{(E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1} | ||
| + | \mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ | ||
| $$ | |||
| − | |||
| + | Формула в ответе Савченко неверна, но численный ответ правильный | ||
| $\textbf{2 способ}$ | |||
| − | Задачу можно также решить с помощью | ||
| + | |||
| + | Задачу можно также решить с помощью записи инварианта до и после распада: | ||
| $$ | |||
| I=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m_{\pi^0}^2c^2 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | I= | ||
| + | I=\left(\frac{E_1+E_2}{c}\right)^2-\left(\frac{E_1-E_2}{c}\right)^2=\frac{4E_1E_2}{c^2} | ||
| $$ | |||
| Приравнивая: | |||
| $$ | |||
| E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2 | ||
| + | \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2 | ||
| $$ | |||
| − | Что приводит к тому же ответу | ||
| − | |||
| $$ | |||
| − | |||
| + | \mathcal{E}_K=E_1+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}-m_{\pi^0}c^2 | ||
| $$ | |||
| + | Что приводит к тому же ответу | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,12 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.5.11 |
$14.5.11$ | ||
| $\pi^0$-мезон распадается на два $\gamma$-кванта: $\pi^0 → \gamma + \gamma$. Найдите кинетическую энергию $\pi^0$-мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует $\gamma$-квант с энергией $E_1=270 \ МэВ$. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| $14.5.11$ $\pi^0$-Мезон распадается на два $\gamma$-кванта: $\pi^0 → \gamma + \gamma$. Найдите кинетическую энергию $\pi^0$-мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует $\gamma$-квант с энергией $E_1=270 \ МэВ$. | |||
| $\textbf{1 способ}$ | $\textbf{1 способ}$ | ||
| Вспомним, что для фотона импульс равен $p=\frac{E}{c}$ | Вспомним, что для фотона импульс равен $p=\frac{E}{c}$ | ||
| Счётчик зафиксировал только один фотон, значит, второй полетел в строго противоположную сторону (если бы он имел компоненту, не параллельную направлению движения мезона, её нечем было бы скомпенсировать), причем должен выполняться ЗСИ: | Счётчик зафиксировал только один фотон, значит, второй полетел в строго противоположную сторону (если бы он имел компоненту, не параллельную направлению движения мезона, её нечем было бы скомпенсировать), причем должен выполняться ЗСИ: | ||
| $$ | $$ | ||
| p=\frac{Ev}{c^2}=\frac{1}{c}(E_1-E_2) | p=\frac{Ev}{c^2}=\frac{1}{c}(E_1-E_2) | ||
| $$ | $$ | ||
| ЗСЭ: | ЗСЭ: | ||
| $$ | $$ | ||
| E=m_{\pi^0}c^2+\mathcal{E}_K=E_1+E_2 | E=m_{\pi^0}c^2+\mathcal{E}_K=E_1+E_2 | ||
| $$ | $$ | ||
| решим эту систему: | решим эту систему: | ||
| $$ | $$ | ||
| E_2=E-E_1 | E_2=E-E_1 | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -24,7 +24,7 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| Ev=c(2E_1-E) | Ev=c(2E_1-E) | ||
| $$ | $$ | ||
| $\beta=v/c$ | Обозначим $\beta=v/c$, запишем определения энергий и аккуратно решим уравнения: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{m_{\pi^0}c^2(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}}=2E_1 | \frac{m_{\pi^0}c^2(1+\beta)}{\sqrt{1-\beta^2}}=2E_1 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{2E_1}{m_{\pi^0}c^2}=s | \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\frac{2E_1}{m_{\pi^0}c^2}=s | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \beta=\frac{s^2-1}{s^2+1} | \beta=\frac{s^2-1}{s^2+1} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{1}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}-1\right) | \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{1}{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}-1\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s^2+1}{2s}-1\right) | \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s^2+1}{2s}-1\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2s}-1\right) | \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2s}-1\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{E_1}{m_{\pi^0}c^2}+\frac{m_{\pi^0}c^2}{4E_1}-1\right) | \mathcal{E}_K=m_{\pi^0}c^2\left(\frac{E_1}{m_{\pi^0}c^2}+\frac{m_{\pi^0}c^2}{4E_1}-1\right) | ||
| @@ -48,31 +48,35 @@Решение | |||
| $$ | $$ | ||
| Или компактнее | Или компактнее | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=\frac{(E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1} | \mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ | ||
| $$ | $$ | ||
| Формула в ответе Савченко неверна, но численный ответ правильный | |||
| $\textbf{2 способ}$ | $\textbf{2 способ}$ | ||
| Задачу можно также решить с помощью |
|||
| Задачу можно также решить с помощью записи инварианта до и после распада: | |||
| $$ | $$ | ||
| I=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m_{\pi^0}^2c^2 | I=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m_{\pi^0}^2c^2 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| I= |
I=\left(\frac{E_1+E_2}{c}\right)^2-\left(\frac{E_1-E_2}{c}\right)^2=\frac{4E_1E_2}{c^2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Приравнивая: | Приравнивая: | ||
| $$ | $$ | ||
| E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1} | E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2 |
\mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2 | ||
| $$ | $$ | ||
| Что приводит к тому же ответу | |||
| $$ | $$ | ||
| \mathcal{E}_K=E_1+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}-m_{\pi^0}c^2 | |||
| $$ | $$ | ||
| Что приводит к тому же ответу | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$ | ||
| \boxed{\mathcal{E}_K=\frac{(2E_1-m_{\pi^0}c^2)^2}{4E_1}\approx 152 \ МэВ} | |||
| $$ | |||